การบังคับและการเป็นอิสระ

การบังคับ (Forcing) เป็นเทคนิคในการขยายแบบจำลองของทฤษฎีเซตโดยการเพิ่มวัตถุทั่วไปที่เลือกมาอย่างระมัดระวัง และเป็นวิธีการหลักในการพิสูจน์ว่าข้อความต่างๆ เป็นอิสระจากสัจพจน์มาตรฐาน

Definition

การบังคับเป็นวิธีการที่เริ่มต้นจากแบบจำลองของทฤษฎีเซตและอันดับบางส่วนภายในนั้น สร้างแบบจำลองที่ใหญ่ขึ้นซึ่งมีตัวกรองทั่วไป โดยการควบคุมอันดับบางส่วน จะมีการจัดเตรียมให้ข้อความที่กำหนดไว้เป็นจริงหรือไม่เป็นจริงในส่วนขยาย ซึ่งเป็นการพิสูจน์ความสอดคล้องหรือความเป็นอิสระของข้อความเหล่านั้น

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงวิธีการบังคับ, อันดับบางส่วนและตัวกรองทั่วไป, ความสัมพันธ์ของการบังคับและการสร้างส่วนขยายทั่วไป, การรักษาจำนวนเชิงการนับผ่านเงื่อนไขลูกโซ่, และผลลัพธ์ที่เป็นอิสระตามแบบแผนสำหรับสมมติฐานความต่อเนื่องและสัจพจน์ของการเลือก พร้อมกับจักรวาลที่สร้างได้เสริมของ Goedel

Core questions

• การเพิ่มตัวกรองทั่วไปทำให้เกิดแบบจำลองใหม่ของทฤษฎีเซตได้อย่างไร?
• ความจริงในส่วนขยายทั่วไปถูกควบคุมโดยความสัมพันธ์ของการบังคับภายในแบบจำลองพื้นฐานได้อย่างไร?
• คุณสมบัติเชิงการจัดหมู่ใดของโพเซตการบังคับที่รักษาจำนวนเชิงการนับและจำนวนร่วมสุดท้าย?
• การบังคับและจักรวาลที่สร้างได้ร่วมกันสร้างความเป็นอิสระของสมมติฐานความต่อเนื่องได้อย่างไร?

Key theories

ส่วนขยายทั่วไปและทฤษฎีบทการบังคับ

เมื่อกำหนดตัวกรองทั่วไปเหนืออันดับบางส่วน ข้อความทุกข้อที่เป็นจริงในส่วนขยายที่ได้จะถูกบังคับโดยเงื่อนไขบางอย่าง และความสัมพันธ์ของการบังคับนี้สามารถนิยามได้ในแบบจำลองพื้นฐาน ทำให้สามารถวิเคราะห์ส่วนขยายได้จากภายใน

จักรวาลที่สร้างได้และความสอดคล้องของ CH

แบบจำลองภายในของ Goedel ที่ประกอบด้วยเซตที่สร้างได้นั้นสอดคล้องกับสัจพจน์ของการเลือกและสมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับสัจพจน์อื่นๆ

ความเป็นอิสระของสมมติฐานความต่อเนื่อง

Cohen ใช้การบังคับเพื่อเพิ่มจำนวนจริงจำนวนมากให้กับแบบจำลองเพื่อให้สมมติฐานความต่อเนื่องไม่เป็นจริง ซึ่งเมื่อรวมกับผลลัพธ์ของ Goedel แสดงให้เห็นว่าสมมติฐานนี้เป็นอิสระจาก ZFC

Clinical relevance

การบังคับเป็นเครื่องมือหลักของทฤษฎีเซตในปัจจุบัน: ใช้เพื่อพิสูจน์ความเป็นอิสระของข้อความหลากหลายในสาขาการวิเคราะห์, โทโพโลยี, และพีชคณิต และเพื่อปรับเทียบความแข็งแกร่งของหลักการเชิงการจัดหมู่ ซึ่งเผยให้เห็นว่าคำถามทางคณิตศาสตร์ใดที่สัจพจน์มาตรฐานไม่สามารถตัดสินได้

History

Goedel ได้นำเสนอจักรวาลที่สร้างได้ในปี 1938 เพื่อพิสูจน์ความสอดคล้องของสมมติฐานความต่อเนื่องและสัจพจน์ของการเลือก ในปี 1963 Cohen ได้คิดค้นการบังคับเพื่อพิสูจน์ความเป็นอิสระของสิ่งเหล่านี้ ซึ่งเป็นผลงานที่ทำให้เขาได้รับรางวัล Fields Medal; Scott, Solovay และคนอื่นๆ ได้ปรับปรุงการบังคับผ่านแบบจำลองค่าบูลีนและพัฒนาให้เป็นเครื่องมือมาตรฐานของสาขาวิชานี้

Key figures

• Paul Cohen
• Kurt Goedel
• Dana Scott
• Robert Solovay

Seminal works

• kunen2011
• cohen1963
• godel1940

Frequently asked questions

ตัวกรองทั่วไปคืออะไรในเชิงแนวคิด?

เป็นวัตถุในอุดมคติที่ถูกเลือกมาเพื่อให้ตรงตามข้อกำหนดทุกประการที่สามารถนิยามได้ในแบบจำลองพื้นฐาน ดังนั้นจึงมีความเป็นทั่วไปเพียงพอที่จะหลีกเลี่ยงการถูกจำกัดด้วยคำนิยามใดๆ ที่นั่น การเพิ่มวัตถุนี้จะสร้างส่วนขยายที่ควบคุมได้ของจักรวาลของเซต

การบังคับเปลี่ยนแปลงความจริงของสัจพจน์ของทฤษฎีเซตหรือไม่?

ไม่ ส่วนขยายทั่วไปของแบบจำลอง ZFC ยังคงเป็นแบบจำลอง ZFC; การบังคับเปลี่ยนแปลงเฉพาะค่าความจริงของข้อความที่สัจพจน์ไม่ได้กำหนดไว้ เช่น สมมติฐานความต่อเนื่อง ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้เป็นเครื่องมือสำหรับการพิสูจน์ความเป็นอิสระ