ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (ZFC)

ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมสัจพจน์การเลือก (ZFC) เป็นระบบสัจพจน์อันดับหนึ่งที่ทำหน้าที่เป็นรากฐานเชิงรูปนัยมาตรฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่

Definition

ZFC เป็นทฤษฎีในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งที่มีสัญลักษณ์ความสัมพันธ์ทวิภาคเดียวสำหรับการเป็นสมาชิก ซึ่งสัจพจน์ของมัน (สัจพจน์การขยาย, สัจพจน์การจับคู่, สัจพจน์การรวม, สัจพจน์เซตกำลัง, สัจพจน์อนันต์, สัจพจน์การแยก, สัจพจน์การแทนที่, สัจพจน์รากฐาน และสัจพจน์การเลือก) อธิบายเอกภพของเซต และจากสัจพจน์เหล่านี้ คณิตศาสตร์ทั่วไปสามารถอนุมานได้

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมสัจพจน์แต่ละข้อของ ZFC ลำดับชั้นสะสมของเซตที่สัจพจน์เหล่านี้สร้างขึ้น บทบาทของโครงร่างสัจพจน์ของการแยกและการแทนที่ และสถานะพิเศษของสัจพจน์การเลือก นอกจากนี้ยังอธิบายถึงวิธีการเข้ารหัสวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่คุ้นเคยให้เป็นเซตภายในระบบนี้

Core questions

• สัจพจน์ ZFC แต่ละข้อยืนยันอะไรและเหตุใดจึงจำเป็น?
• ลำดับชั้นสะสมจัดระเบียบเอกภพของเซตอย่างไร?
• เหตุใดสัจพจน์การเลือกจึงถูกแยกออกมาและมีความหมายอย่างไร?
• ตัวเลข ฟังก์ชัน และความสัมพันธ์ถูกสร้างขึ้นเป็นเซตภายใน ZFC ได้อย่างไร?

Key theories

สัจพจน์การขยายและรากฐาน

สัจพจน์การขยายระบุว่าเซตถูกกำหนดโดยสมาชิกของมัน และสัจพจน์รากฐานตัดความเป็นไปได้ของสายโซ่การเป็นสมาชิกที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งจัดโครงสร้างเอกภพให้เป็นลำดับชั้นสะสมที่มีรากฐานที่ดี

โครงร่างการแยกและการแทนที่

โครงร่างการแยกสร้างเซตย่อยที่กำหนดโดยคุณสมบัติ และโครงร่างการแทนที่อนุญาตให้ภาพของเซตภายใต้ฟังก์ชันคลาสที่สามารถกำหนดได้เป็นเซต ซึ่งรวมกันแล้วให้ความแข็งแกร่งที่จำเป็นในการสร้างเซตขนาดใหญ่โดยไม่นำความขัดแย้งแบบคลาสสิกกลับมาอีก

สัจพจน์การเลือก

สัจพจน์การเลือกยืนยันว่าการรวบรวมเซตที่ไม่ว่างเปล่าใด ๆ มีฟังก์ชันการเลือก; มันเทียบเท่ากับบทตั้งของซอร์นและทฤษฎีการจัดอันดับที่ดี และเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในคณิตศาสตร์หลายสาขา แต่เป็นอิสระจากสัจพจน์อื่น ๆ

Clinical relevance

ZFC เป็นกรอบงานโดยนัยที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้ในการให้เหตุผล: มันกำหนดว่าวัตถุใดมีอยู่และการสร้างใดถูกต้องตามกฎหมาย ดังนั้นการทำความเข้าใจสัจพจน์ของมันจึงช่วยให้ชัดเจนว่าข้อโต้แย้งใดมีรากฐานที่มั่นคง และข้อโต้แย้งใดขึ้นอยู่กับการเลือกหรือหลักการอื่น ๆ ที่ยังเป็นที่ถกเถียง

History

แซร์เมโลเสนอการวางระบบสัจพจน์ครั้งแรกในปี 1908 เพื่อยืนยันการพิสูจน์ทฤษฎีการจัดอันดับที่ดีของเขา; แฟรงเคิลและสกอเลมได้เพิ่มโครงร่างการแทนที่ในช่วงทศวรรษ 1920 และฟอน นอยมันน์ได้ชี้แจงลำดับชั้นสะสมและรากฐาน ทำให้เกิดระบบที่เรียกว่า ZFC ในปัจจุบัน

Key figures

• Ernst Zermelo
• Abraham Fraenkel
• Thoralf Skolem
• John von Neumann

Seminal works

• kunen2011
• jech2003
• enderton1977

Frequently asked questions

เหตุใดจึงไม่ใช้ทฤษฎีเซตแบบสามัญ?

ความเข้าใจแบบสามัญ ซึ่งอนุญาตให้สร้างเซตของเซตทั้งหมดที่สอดคล้องกับคุณสมบัติใด ๆ นำไปสู่ความขัดแย้งของรัสเซลล์ ZFC แทนที่ความเข้าใจที่ไม่จำกัดด้วยโครงร่างการแยกและการแทนที่ที่จำกัด ซึ่งหลีกเลี่ยงความขัดแย้งในขณะที่ยังคงแข็งแกร่งพอสำหรับคณิตศาสตร์

สัจพจน์การเลือกจำเป็นหรือไม่?

คณิตศาสตร์กระแสหลักส่วนใหญ่ รวมถึงฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์และผลลัพธ์หลายอย่างในการวิเคราะห์และพีชคณิต อาศัยสัจพจน์นี้ มันเป็นอิสระจากสัจพจน์อื่น ๆ ดังนั้นจึงสามารถสมมติหรือปฏิเสธได้อย่างสอดคล้องกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะถูกนำมาใช้