เลขคาร์ดินัลและเลขลำดับ
เลขคาร์ดินัลและเลขลำดับขยายแนวคิดของการนับและการจัดลำดับไปสู่ความเป็นอนันต์ โดยให้การวัดขนาดและตำแหน่งอนันต์ที่เสริมกันสองแบบ
Definition
เลขลำดับ (ordinal) คือเซตเชิงผ่านที่ถูกจัดอันดับดีด้วยความสัมพันธ์สมาชิกภาพ ซึ่งแสดงถึงชนิดอันดับ; เลขคาร์ดินัล (cardinal) คือเลขลำดับที่ไม่สามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเลขลำดับที่เล็กกว่าได้ ซึ่งแสดงถึงขนาด เลขคณิตของพวกมันกำหนดการดำเนินการบวก การคูณ และการยกกำลังที่ขยายจากจำนวนจำกัดไปสู่จำนวนอนันต์
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมเลขลำดับในฐานะเซตอันดับดีแบบบัญญัติและเลขคณิตแบบไม่สลับที่ของพวกมัน เลขคาร์ดินัลในฐานะการวัดขนาดและเลขคณิตของพวกมันภายใต้สัจพจน์การเลือก ลำดับชั้นอะเลฟและเบธ สหขีดจำกัด และผลลัพธ์ต่างๆ เช่น ทฤษฎีบทของคันเทอร์และทฤษฎีบทของโคนิก
Core questions
- เลขลำดับเข้ารหัสการจัดอันดับดีทุกรูปแบบได้อย่างไรเมื่อพิจารณาถึงความสมสัณฐาน?
- เหตุใดเลขคณิตลำดับจึงไม่สลับที่ในขณะที่เลขคณิตคาร์ดินัลสลับที่?
- เลขคาร์ดินัลอนันต์ถูกบวก คูณ และยกกำลังอย่างไร?
- ข้อจำกัดใดบ้างที่สหขีดจำกัดและทฤษฎีบทของโคนิกกำหนดต่อการยกกำลังคาร์ดินัล?
Key theories
- ทฤษฎีบทของคันเทอร์
- สำหรับทุกเซต เซตกำลังจะมีขนาดคาร์ดินัลที่มากกว่าอย่างเคร่งครัด ดังนั้นจึงไม่มีคาร์ดินัลที่ใหญ่ที่สุดและลำดับชั้นของขนาดอนันต์จะไม่มีที่สิ้นสุด
- การอุปนัยและเวียนเกิดอนันต์
- คุณสมบัติสามารถพิสูจน์ได้และฟังก์ชันสามารถนิยามได้เหนือเลขลำดับทั้งหมดโดยการอุปนัยและเวียนเกิดตามลำดับของเลขลำดับ ซึ่งเป็นกลไกทางเทคนิคหลักของทฤษฎีเซต
- ลำดับชั้นอะเลฟและการยกกำลังคาร์ดินัล
- ภายใต้สัจพจน์การเลือก เลขคาร์ดินัลอนันต์จะถูกจัดอันดับดีในฐานะอะเลฟ; ผลบวกและผลคูณของเลขคาร์ดินัลอนันต์จะยุบตัวลงสู่ค่าสูงสุด ในขณะที่การยกกำลังถูกควบคุมโดยสหขีดจำกัดและทฤษฎีบทของโคนิก และยังคงเป็นอิสระจาก ZFC เป็นส่วนใหญ่
Clinical relevance
เลขคณิตอนันต์เป็นพื้นฐานของการเปรียบเทียบเซตอนันต์ในทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด ให้เหตุผลสำหรับการให้เหตุผลโดยการอุปนัยอนันต์ในพีชคณิตและการวิเคราะห์ และกำหนดกรอบคำถามอิสระที่สำคัญ เช่น ค่าของความต่อเนื่อง
History
คันเทอร์ได้นำเสนอทั้งเลขลำดับและเลขคาร์ดินัลในช่วงทศวรรษ 1880 และ 1890 โดยพิสูจน์ว่าจำนวนจริงเป็นจำนวนนับไม่ได้ และเซตกำลังเพิ่มขนาดคาร์ดินัลอย่างเคร่งครัด คำจำกัดความของเลขลำดับของฟอน นอยมันน์ในฐานะเซตเชิงผ่านที่ถูกจัดอันดับดีด้วยความสัมพันธ์สมาชิกภาพได้ให้รูปแบบที่ทันสมัย และเฮาส์ดอร์ฟและโคนิกได้สร้างผลลัพธ์ที่สำคัญเกี่ยวกับการยกกำลังคาร์ดินัลและสหขีดจำกัด
Key figures
- Georg Cantor
- John von Neumann
- Felix Hausdorff
- Julius Koenig
Related topics
Seminal works
- jech2003
- enderton1977
- kunen2011
Frequently asked questions
- ความแตกต่างระหว่างเลขลำดับและเลขคาร์ดินัลคืออะไร?
- เลขลำดับบันทึกชนิดอันดับของการจัดอันดับดี โดยแยกแยะการจัดเรียงที่มีขนาดเท่ากันแต่มีโครงสร้างต่างกัน ในขณะที่เลขคาร์ดินัลบันทึกเฉพาะขนาด เลขคาร์ดินัลทุกตัวเป็นเลขลำดับ กล่าวคือเป็นเลขลำดับที่น้อยที่สุดของขนาดนั้น
- ทำไมหนึ่งบวกโอเมกาจึงแตกต่างจากโอเมกาบวกหนึ่ง?
- การบวกเลขลำดับถูกนิยามโดยการต่อชนิดอันดับและมีความไวต่อตำแหน่ง การวางองค์ประกอบหนึ่งตัวก่อนจำนวนธรรมชาติจะให้ชนิดอันดับเดียวกับจำนวนธรรมชาติ ในขณะที่การวางหนึ่งตัวหลังจากนั้นจะเพิ่มองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดใหม่ ดังนั้นผลบวกทั้งสองจึงเป็นเลขลำดับที่แตกต่างกัน