จำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่ (Large Cardinals)

จำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่เป็นสัจพจน์อนันต์ที่ทรงพลัง ซึ่งยืนยันถึงการมีอยู่ของจำนวนเชิงอันดับที่ที่มีขนาดใหญ่มากจนไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของพวกมันได้ใน ZFC และพวกมันก่อตัวเป็นลำดับชั้นเชิงเส้นเกือบสมบูรณ์ที่ใช้ในการสอบเทียบความแข็งแกร่งของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

Definition

สัจพจน์จำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่ยืนยันถึงการมีอยู่ของจำนวนเชิงอันดับที่ที่มีคุณสมบัติการปิด (closure) หรือการสะท้อน (reflection) ที่แข็งแกร่ง ซึ่งโดยทั่วไปสามารถแสดงออกได้ผ่านการฝังตัวแบบมูลฐานของเอกภพ (universe) จำนวนเชิงอันดับที่ดังกล่าวมีขนาดเกินกว่าที่ ZFC จะสามารถพิสูจน์การมีอยู่ได้ และดังนั้นจึงเพิ่มความแข็งแกร่งเชิงความสอดคล้องของทฤษฎี

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมแนวคิดหลักของจำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่ เช่น จำนวนเชิงอันดับที่ที่เข้าไม่ถึง (inaccessible), มาห์โล (Mahlo), กระชับอย่างอ่อน (weakly compact), วัดได้ (measurable) และซูเปอร์คอมแพกต์ (supercompact) รวมถึงลักษณะเฉพาะของพวกมันผ่านการสะท้อน (reflection) และการฝังตัวแบบมูลฐาน (elementary embeddings) ลำดับชั้นความแข็งแกร่งเชิงความสอดคล้องที่พวกมันสร้างขึ้น และความเชื่อมโยงกับทฤษฎีดีเทอร์มินาซี (determinacy) และแบบจำลองภายใน (inner model theory)

Core questions

• คุณสมบัติการปิดและการสะท้อนใดที่นิยามจำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่หลักๆ?
• การฝังตัวแบบมูลฐานมีลักษณะเฉพาะของจำนวนเชิงอันดับที่ที่วัดได้และจำนวนเชิงอันดับที่ที่แข็งแกร่งกว่าได้อย่างไร?
• เหตุใดจำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่จึงก่อตัวเป็นลำดับชั้นความแข็งแกร่งเชิงความสอดคล้องที่เป็นเชิงเส้นเกือบสมบูรณ์?
• จำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่มีปฏิสัมพันธ์กับดีเทอร์มินาซีและโครงสร้างของจำนวนจริงอย่างไร?

Key theories

จำนวนเชิงอันดับที่ที่เข้าไม่ถึงและมาห์โล

จำนวนเชิงอันดับที่ที่เข้าไม่ถึงเป็นจำนวนเชิงอันดับที่ปกติ (regular) และเป็นขีดจำกัดที่แข็งแกร่ง (strong limit) ดังนั้นจึงไม่สามารถเข้าถึงได้ด้วยการดำเนินการเซตตามปกติ และให้แบบจำลองธรรมชาติของ ZFC ส่วนจำนวนเชิงอันดับที่มาห์โลสะท้อนการเข้าไม่ถึง ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของลำดับชั้น

จำนวนเชิงอันดับที่ที่วัดได้และการฝังตัวแบบมูลฐาน

จำนวนเชิงอันดับที่ที่วัดได้มีอุลตราฟิลเตอร์ (ultrafilter) ที่สมบูรณ์แบบนับได้และไม่เป็นสัจจะ (nontrivial countably complete ultrafilter) หรือเทียบเท่าคือเป็นจุดวิกฤตของการฝังตัวแบบมูลฐานของเอกภพเข้าสู่แบบจำลองภายใน ซึ่งขัดแย้งกับสัจพจน์ของการสร้างได้

ลำดับชั้นความแข็งแกร่งเชิงความสอดคล้อง

สัจพจน์จำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่ถูกจัดลำดับตามความสอดคล้องสัมพัทธ์ ดังนั้นความสอดคล้องของสัจพจน์หนึ่งจึงบ่งชี้ถึงความสอดคล้องของสัจพจน์ที่อ่อนกว่าทั้งหมด ซึ่งเป็นมาตรวัดที่ใช้ประเมินความแข็งแกร่งของทฤษฎีใดๆ

Clinical relevance

จำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่เป็นมาตราส่วนมาตรฐานของความแข็งแกร่งเชิงความสอดคล้องในทางคณิตศาสตร์: ข้อความหลายอย่างกลับกลายเป็นว่ามีความสอดคล้องสมมูลกับการมีอยู่ของจำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่บางตัว และจำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่ที่แข็งแกร่งบ่งชี้ถึงคุณสมบัติความสม่ำเสมอของเส้นจำนวนจริง เช่น ดีเทอร์มินาซีเชิงภาพฉาย (projective determinacy) และการวัดได้แบบเลอเบก (Lebesgue measurability) ของเซตที่นิยามได้

History

จำนวนเชิงอันดับที่ที่เข้าไม่ถึงเกิดขึ้นจากการศึกษาแบบจำลองทฤษฎีเซตของ Zermelo และ Sierpinski-Tarski และผลงานของ Ulam ในปี 1930 เกี่ยวกับการวัดนำไปสู่จำนวนเชิงอันดับที่ที่วัดได้ Scott แสดงให้เห็นในปี 1961 ว่าจำนวนเชิงอันดับที่ที่วัดได้หักล้างสัจพจน์ของการสร้างได้ (axiom of constructibility) และผลงานต่อมาของ Solovay, Martin, Woodin และคนอื่นๆ ได้สร้างลำดับชั้นที่ทันสมัยและความเชื่อมโยงกับดีเทอร์มินาซี

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Dana Scott
• Robert Solovay
• Hugh Woodin

Seminal works

• kanamori2009
• jech2003
• kunen2011

Frequently asked questions

เหตุใด ZFC จึงไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่มีอยู่จริง?

จำนวนเชิงอันดับที่ที่เข้าไม่ถึงให้แบบจำลองเซตของ ZFC ดังนั้นตามทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สองของ Goedel ZFC จึงไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนเชิงอันดับที่ดังกล่าวมีอยู่จริงโดยไม่พิสูจน์ความสอดคล้องของตัวเอง ซึ่ง ZFC ไม่สามารถทำได้ เหตุผลเดียวกันนี้ใช้ได้กับจำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่ที่แข็งแกร่งกว่าด้วย

เหตุใดจึงต้องศึกษาสัจพจน์ที่ไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องได้?

จำนวนเชิงอันดับที่ขนาดใหญ่เป็นมาตราส่วนที่สอดคล้องกันและจัดลำดับไว้อย่างดีสำหรับการเปรียบเทียบความแข็งแกร่งของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ และพวกมันสามารถตอบคำถามที่เคยเป็นอิสระเกี่ยวกับเซตของจำนวนจริงที่นิยามได้ ทำให้พวกมันเป็นเครื่องมือจัดระเบียบที่สำคัญแม้ว่าจะต้องสมมติความสอดคล้องของพวกมันก็ตาม