ฟ็อกสเปซและเลขการเข้าครอง

ฟ็อกสเปซ (Fock space) คือปริภูมิสถานะควอนตัมสำหรับระบบที่มีจำนวนอนุภาคที่เหมือนกันซึ่งแปรผันได้ โดยสถานะจะถูกระบุง่ายๆ ด้วยการระบุว่ามีอนุภาคจำนวนเท่าใดเข้าครองแต่ละโหมดอนุภาคเดี่ยว ซึ่งเรียกว่าเลขการเข้าครอง (occupation numbers)

Definition

ฟ็อกสเปซคือปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space) ที่ทอดขยายโดยสถานะของเลขการเข้าครองที่แน่นอนสำหรับแต่ละโหมดอนุภาคเดี่ยว ครอบคลุมจำนวนอนุภาคทั้งหมดตั้งแต่สถานะสุญญากาศขึ้นไป โดยมีการเข้าครองแบบสมมาตรสำหรับโบซอน และการเข้าครองจำกัดที่ศูนย์หรือหนึ่งสำหรับเฟอร์มิออน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการสร้างฟ็อกสเปซในฐานะผลรวมโดยตรงของปริภูมิหลายอนุภาคแบบสมมาตรหรือปฏิสมมาตร, สถานะสุญญากาศ (vacuum state) ที่ไม่มีอนุภาค, ฐานเลขการเข้าครอง (occupation-number basis) ที่ระบุสถานะด้วยจำนวนประชากรในแต่ละโหมด, ข้อจำกัดของเลขการเข้าครองของเฟอร์มิออนที่ต้องเป็นศูนย์หรือหนึ่ง, ตัวดำเนินการจำนวน (number operator) ที่นับอนุภาคในแต่ละโหมด, และบทบาทของฟ็อกสเปซในฐานะเวทีสำหรับการควอนไทเซชันอันดับสอง (second quantization)

Core questions

• ฟ็อกสเปซถูกสร้างขึ้นจากสถานะอนุภาคเดี่ยวได้อย่างไร?
• การแสดงผลด้วยเลขการเข้าครองคืออะไร และเหตุใดจึงสะดวก?
• เลขการเข้าครองของโบซอนและเฟอร์มิออนแตกต่างกันอย่างไร?
• ตัวดำเนินการจำนวนวัดอะไรในการแสดงผลนี้?

Key concepts

• ฟ็อกสเปซ
• สถานะสุญญากาศ
• ฐานเลขการเข้าครอง
• ตัวดำเนินการจำนวน
• การอนุรักษ์จำนวนอนุภาค
• ปริภูมิฮิลเบิร์ตหลายวัตถุ

Key theories

ฐานเลขการเข้าครอง

เนื่องจากอนุภาคที่เหมือนกันไม่สามารถแยกแยะได้ สถานะหลายอนุภาคจึงถูกระบุอย่างสมบูรณ์ด้วยจำนวนอนุภาคที่อยู่ในแต่ละโหมด ดังนั้นฐานธรรมชาติจึงระบุเลขการเข้าครองที่สร้างขึ้นบนสถานะสุญญากาศ ซึ่งเคารพสมมาตรการแลกเปลี่ยนที่จำเป็นโดยอัตโนมัติ

การเข้าครองของโบซอนเทียบกับเฟอร์มิออน

โหมดของโบซอนสามารถมีอนุภาคได้ไม่จำกัดจำนวน ในขณะที่โหมดของเฟอร์มิออนถูกจำกัดให้เป็นศูนย์หรือหนึ่งตามหลักการกีดกัน และตัวดำเนินการจำนวนสำหรับแต่ละโหมดจะคืนค่าการเข้าครอง ซึ่งให้การบันทึกที่เป็นหนึ่งเดียวสำหรับระบบที่มีจำนวนอนุภาคที่แปรผันได้

Clinical relevance

ฟ็อกสเปซเป็นสภาพแวดล้อมการทำงานของทฤษฎีหลายวัตถุ (many-body theory) และทฤษฎีสนาม (field theory): มันอธิบายโฟตอนในทัศนศาสตร์ควอนตัม, โฟนอนและการกระตุ้นอิเล็กตรอนในของแข็ง, และการสร้างอนุภาคในทฤษฎีสนามควอนตัม, และภาพเลขการเข้าครองเป็นวิธีที่ก๊าซควอนตัมและแบบจำลองแลตทิซถูกกำหนดและคำนวณ

History

ฟ็อกได้นำเสนอปริภูมิที่ตั้งชื่อตามเขาในปี 1932 เพื่อจัดการกับจำนวนอนุภาคที่แปรผันได้; มันพัฒนามาจากการควอนไทเซชันของสนามโดยดิแรกและจอร์แดน และกลายเป็นกรอบมาตรฐานสำหรับฟิสิกส์หลายวัตถุและทฤษฎีสนามควอนตัม

Key figures

• Vladimir Fock
• Paul Dirac
• Pascual Jordan
• Eugene Wigner

Seminal works

• fetterwalecka2003
• sakurai2017

Frequently asked questions

เหตุใดจึงใช้เลขการเข้าครองแทนฟังก์ชันคลื่นสำหรับอนุภาคหลายตัว?

เนื่องจากอนุภาคที่เหมือนกันไม่สามารถติดป้ายได้ การติดตามว่าอนุภาคใดอยู่ที่ไหนจึงไม่มีความหมาย การระบุเพียงว่ามีอนุภาคจำนวนเท่าใดเข้าครองแต่ละโหมดจะรวบรวมข้อมูลทางกายภาพทั้งหมดและสร้างสมมาตรที่ถูกต้องโดยอัตโนมัติ ซึ่งช่วยลดความซับซ้อนของการคำนวณหลายวัตถุได้อย่างมาก

เหตุใดเลขการเข้าครองของเฟอร์มิออนจึงถูกจำกัดให้เป็นศูนย์หรือหนึ่ง?

หลักการกีดกันของเพาลีห้ามไม่ให้เฟอร์มิออนที่เหมือนกันสองตัวใช้สถานะอนุภาคเดี่ยวเดียวกัน ดังนั้นแต่ละโหมดของเฟอร์มิออนจึงสามารถว่างเปล่าหรือมีอนุภาคเดียวเท่านั้น ซึ่งแตกต่างจากโหมดของโบซอนที่ยอมรับการเข้าครองใดๆ