ตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลาย

ตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายจะเพิ่มหรือลบอนุภาคในโหมดที่กำหนดของระบบหลายอนุภาค โดยเป็นไปตามความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนสำหรับโบซอนและความสัมพันธ์ปฏิสับเปลี่ยนสำหรับเฟอร์มิออน ซึ่งเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของการหาปริมาณแบบทุติยภูมิ (second quantization)

Definition

ตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายเป็นตัวดำเนินการที่เพิ่มหรือลบอนุภาคหนึ่งอนุภาคในโหมดอนุภาคเดี่ยวที่ระบุของปริภูมิฟอคตามลำดับ โดยเป็นไปตามความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนสำหรับโบซอนและความสัมพันธ์ปฏิสับเปลี่ยนสำหรับเฟอร์มิออน ซึ่งจากสิ่งเหล่านี้จะมีการสร้างปริมาณที่สังเกตได้ของระบบหลายอนุภาคทั้งหมด

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงคำจำกัดความของตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายในปริภูมิฟอค (Fock space), ความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนของโบซอนและความสัมพันธ์ปฏิสับเปลี่ยนของเฟอร์มิออนที่บังคับใช้สถิติที่ถูกต้อง, ตัวดำเนินการจำนวนที่สร้างขึ้นจากสิ่งเหล่านี้, การสร้างสถานะฟอคใดๆ จากสุญญากาศ, การแสดงออกของตัวดำเนินการหนึ่งอนุภาคและสองอนุภาคและฮามิลโทเนียนในรูปแบบการหาปริมาณแบบทุติยภูมิ, และตัวดำเนินการสนามในฐานะการสรุปโหมดต่อเนื่องของสิ่งเหล่านี้

Core questions

• ตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายมีผลต่อสถานะฟอคอย่างไร?
• เหตุใดโบซอนจึงต้องการความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนและเฟอร์มิออนจึงต้องการความสัมพันธ์ปฏิสับเปลี่ยน?
• ปริมาณทางกายภาพที่สังเกตได้และฮามิลโทเนียนแสดงออกโดยใช้ตัวดำเนินการเหล่านี้ได้อย่างไร?
• ตัวดำเนินการสนามสรุปสิ่งเหล่านี้ไปสู่โหมดต่อเนื่องได้อย่างไร?

Key concepts

• ตัวดำเนินการก่อกำเนิด
• ตัวดำเนินการทำลาย
• ความสัมพันธ์การสับเปลี่ยน
• ความสัมพันธ์ปฏิสับเปลี่ยน
• ตัวดำเนินการจำนวน
• ตัวดำเนินการสนาม

Key theories

พีชคณิตของตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลาย

ตัวดำเนินการก่อกำเนิดจะเพิ่มการครอบครองของโหมด และตัวดำเนินการทำลายจะลดการครอบครองลง; ตัวดำเนินการโบซอนเป็นไปตามความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนที่อนุญาตให้มีการครอบครองได้ไม่จำกัด ในขณะที่ตัวดำเนินการเฟอร์มิออนเป็นไปตามความสัมพันธ์ปฏิสับเปลี่ยนที่บังคับใช้หลักการกีดกันโดยการยกกำลังสองเป็นศูนย์

ตัวดำเนินการและสนามที่หาปริมาณแบบทุติยภูมิ

ปริมาณที่สังเกตได้แบบหนึ่งอนุภาคและสองอนุภาค และฮามิลโทเนียนทั้งหมด จะถูกเขียนเป็นผลรวมของตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายที่ถ่วงน้ำหนักด้วยเมทริกซ์อิลิเมนต์ และการรวมเข้าด้วยกันเป็นตัวดำเนินการสนามจะสร้างสูตรต่อเนื่องที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีสนามควอนตัม

Clinical relevance

ตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายเป็นเครื่องมือที่ใช้ในชีวิตประจำวันของฟิสิกส์ควอนตัมสมัยใหม่: พวกมันอธิบายโฟตอนในทัศนศาสตร์ควอนตัม, โฟนอนและการกระตุ้นทางอิเล็กทรอนิกส์ในสสารควบแน่น, และการผลิตอนุภาคในทฤษฎีสนามควอนตัม, และพวกมันทำให้ฮามิลโทเนียนของระบบหลายอนุภาคกระชับพอที่จะวิเคราะห์และคำนวณได้

History

ดิแรก (Dirac) ได้นำเสนอตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายในการหาปริมาณสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในปี 1927 และจอร์แดน (Jordan) และวิกเนอร์ (Wigner) ได้พัฒนาตัวดำเนินการปฏิสับเปลี่ยนสำหรับเฟอร์มิออนในปี 1928 ซึ่งได้สร้างรูปแบบการหาปริมาณแบบทุติยภูมิที่กลายเป็นภาษาของทฤษฎีสนามควอนตัม

Key figures

• Paul Dirac
• Pascual Jordan
• Eugene Wigner
• Vladimir Fock

Seminal works

• fetterwalecka2003
• sakurai2017

Frequently asked questions

ตัวดำเนินการก่อกำเนิดและทำลายเกี่ยวข้องกับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างไร?

พวกมันเป็นตัวดำเนินการขั้นบันไดทางพีชคณิตเดียวกันที่ก้าวไปมาระหว่างระดับพลังงานของออสซิลเลเตอร์ โดยถูกตีความใหม่ว่าเป็นการเพิ่มหรือลบควอนตาของการกระตุ้น; สนามที่หาปริมาณได้โดยพื้นฐานแล้วคือชุดของออสซิลเลเตอร์ ซึ่งมีหนึ่งตัวต่อโหมด โดยมีตัวดำเนินการเหล่านี้สร้างและทำลายอนุภาคของมัน

เหตุใดตัวดำเนินการเฟอร์มิออนจึงต้องปฏิสับเปลี่ยน?

การปฏิสับเปลี่ยนทำให้กำลังสองของตัวดำเนินการก่อกำเนิดเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีโหมดใดสามารถบรรจุเฟอร์มิออนที่เหมือนกันสองตัวได้ ซึ่งเป็นการบังคับใช้หลักการกีดกันของเพาลีและความไม่สมมาตรของสถานะเฟอร์มิออนโดยอัตโนมัติโดยไม่ต้องมีการทำให้ไม่สมมาตรอย่างชัดเจน