Частица в ящике и потенциальные ямы

Частица в ящике и прямоугольная потенциальная яма являются простейшими точно решаемыми квантовыми системами: ограничение частицы приводит к дискретным уровням энергии и волновой функции в виде стоячих волн, иллюстрируя квантование в его чистейшей форме.

Definition

Частица в ящике — это модель квантовой частицы, ограниченной в области бесконечно или конечно глубоким потенциалом, стационарные состояния которой представляют собой стоячие волны с квантованными энергиями, определяемыми граничными условиями.

Scope

Тема охватывает бесконечную прямоугольную яму с её точными уровнями энергии и синусоидальными стоячими волнами, конечную прямоугольную яму с ограниченным числом связанных состояний и экспоненциальным проникновением в классически запрещённые области, условия согласования для волновой функции и её производной на границах, энергию нулевых колебаний и расширение до двух- и трёхмерных ящиков с вырождениями.

Core questions

• Почему ограничение частицы приводит к дискретным уровням энергии?
• Каким граничным условиям должна удовлетворять волновая функция у стенок ямы?
• Почему конечная яма поддерживает лишь ограниченное число связанных состояний?
• Что такое энергия нулевых колебаний и почему её нельзя устранить?

Key concepts

• бесконечная прямоугольная яма
• конечная прямоугольная яма
• стоячая волна
• граничные условия
• энергия нулевых колебаний
• вырождение

Key theories

Бесконечная прямоугольная яма

Частица, ограниченная между непроницаемыми стенками, имеет волновые функции, обращающиеся в нуль у стенок, что приводит к стоячим волнам с целым числом полуволн и энергиями, которые растут как квадрат этого целого числа, что является самым чистым примером квантования.

Конечная прямоугольная яма

Когда стенки имеют конечную высоту, волновая функция экспоненциально проникает в запрещённую область, и яма поддерживает лишь конечное число связанных состояний, определяемых трансцендентным условием согласования, при этом в одномерном случае всегда присутствует по крайней мере одно связанное состояние.

Clinical relevance

Модель ящика является основой нанонауки: квантовые ямы, проволоки и точки в полупроводниках ведут себя как частицы в сконструированных ящиках, а их дискретные уровни определяют цвета дисплеев на квантовых точках и работу лазеров и детекторов на квантовых ямах.

History

Модель ограниченной частицы появилась сразу после уравнения Шрёдингера 1926 года как простейшая иллюстрация квантования; она снова стала центральной в конце двадцатого века, когда молекулярно-лучевая эпитаксия позволила изготавливать реальные полупроводниковые квантовые ямы, соответствующие идеализации из учебников.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Arnold Sommerfeld
• Lev Landau

Seminal works

• griffiths2018
• cohentannoudji2019

Frequently asked questions

Почему наименьшая энергия в ящике должна быть больше нуля?

Ограничение частицы в конечной области заставляет её волновую функцию изгибаться и придаёт ей ненулевой разброс по импульсу согласно принципу неопределённости, поэтому кинетическая энергия не может обращаться в нуль; этот неприводимый минимум и есть энергия нулевых колебаний.

Чем конечная яма отличается от бесконечной ямы?

Бесконечная яма имеет бесконечно много связанных состояний и волновые функции, строго обращающиеся в нуль у стенок, тогда как конечная яма поддерживает лишь конечное число связанных состояний, чьи волновые функции проникают на небольшое расстояние в классически запрещённую область.