Теория возмущений и приближенные методы
Большинство квантовых задач не имеют точного решения, поэтому приближенные методы играют ключевую роль; теория возмущений рассматривает систему как точно решаемую с небольшой поправкой, в то время как вариационный метод и метод ВКБ ограничивают или оценивают энергии и волновые функции в других режимах.
Definition
Приближенные методы в квантовой механике — это систематические подходы для оценки энергий, состояний и скоростей переходов, когда уравнение Шредингера не может быть решено точно. Основными из них являются теория возмущений, вариационный метод и полуклассическое приближение ВКБ.
Scope
Эта область охватывает стационарную теорию возмущений для поправок к энергии и состояниям, включая вырожденные случаи, нестационарную теорию возмущений и золотое правило Ферми для скоростей переходов, вариационный принцип, который ограничивает энергии основного состояния сверху, и полуклассическое приближение ВКБ для медленно меняющихся потенциалов и туннелирования.
Sub-topics
Core questions
- Как корректируются энергетические уровни и состояния при добавлении малого возмущения?
- Как рассчитываются скорости переходов между состояниями под действием зависящего от времени влияния?
- Как можно ограничить энергию основного состояния, не решая уравнение точно?
- Когда полуклассическое приближение дает точные результаты?
Key concepts
- разложение по теории возмущений
- теория возмущений для вырожденных состояний
- золотое правило Ферми
- вариационный принцип
- пробная волновая функция
- приближение ВКБ
Key theories
- Теория возмущений
- Разложение энергий и состояний по степеням малого возмущения дает поправки по порядку, при этом ведущий сдвиг энергии равен математическому ожиданию возмущения, а его зависящая от времени форма приводит к золотому правилу Ферми для скоростей переходов между состояниями.
- Вариационный метод и метод ВКБ
- Вариационный принцип гарантирует, что математическое ожидание гамильтониана в любом пробном состоянии является верхней границей энергии основного состояния, в то время как приближение ВКБ строит волновые функции из медленно меняющейся локальной длины волны, что точно, когда потенциал мало изменяется на протяжении одной длины волны.
Clinical relevance
Эти методы делают квантовую механику применимой к реальным системам: теория возмущений предсказывает расщепления Штарка и Зеемана, а также скорости атомных переходов; вариационный метод дает точные энергии основного состояния в квантовой химии; а ВКБ объясняет скорости туннелирования и условия квантования в атомной, ядерной физике и физике твердого тела.
History
Рэлеем и Шредингером была разработана стационарная теория возмущений в 1920-х годах; Дирак сформулировал нестационарную теорию возмущений, а Ферми популяризировал золотое правило для скоростей переходов, в то время как метод ВКБ был независимо введен Венцелем, Крамерсом и Бриллюэном в 1926 году.
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- Enrico Fermi
- Lord Rayleigh
Related topics
Seminal works
- sakurai2017
- landau1977
Frequently asked questions
- Когда теория возмущений не работает?
- Она дает сбой, когда возмущение не мало по сравнению с расстоянием между энергетическими уровнями, когда уровни почти вырождены, так что знаменатели стремятся к бесконечности, или когда ряд не сходится; в таких случаях вместо нее требуются вариационные, полуклассические или численные методы.
- Почему вариационный метод всегда переоценивает энергию основного состояния?
- Любое пробное состояние представляет собой смесь истинных собственных состояний, и поскольку энергии всех возбужденных состояний лежат выше основного состояния, математическое ожидание гамильтониана является взвешенным средним, которое никогда не может быть ниже наименьшего собственного значения.