Зависящее от времени и независящее от времени уравнение Шрёдингера

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера описывает эволюцию волновой функции, а выделение временной зависимости сводит его к независящему от времени уравнению, которое является задачей на собственные значения, решениями которой являются стационарные состояния с определённой энергией.

Definition

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера утверждает, что гамильтониан генерирует временную эволюцию волновой функции, в то время как независящее от времени уравнение Шрёдингера является результирующим уравнением на собственные значения, решениями которого являются стационарные состояния с определённой энергией.

Scope

Тема охватывает зависящее от времени уравнение Шрёдингера и сохранение вероятности, разделение переменных для независящих от времени гамильтонианов, независящее от времени уравнение как задачу на собственные значения энергии, стационарные состояния и их тривиальную фазовую эволюцию, разложение общего состояния по собственным состояниям энергии и пропагатор, который продвигает любое состояние во времени.

Core questions

• Как гамильтониан определяет эволюцию любого квантового состояния?
• Почему разделение времени и пространства приводит к задаче на собственные значения энергии?
• Что особенного в стационарных состояниях при временной эволюции?
• Как вычисляется будущее состояние произвольной суперпозиции?

Key concepts

• оператор Гамильтона
• стационарное состояние
• собственное значение энергии
• разделение переменных
• сохранение вероятности
• пропагатор

Key theories

Разделение переменных

Когда гамильтониан не имеет явной временной зависимости, решения в виде произведения пространственной функции на временную фазу сводят полное уравнение к независящей от времени задаче на собственные значения, при этом каждое собственное состояние энергии приобретает лишь осциллирующую фазу с течением времени.

Спектральное разложение и пропагатор

Любое начальное состояние может быть записано как суперпозиция собственных состояний энергии, каждое из которых эволюционирует со своей собственной фазой, поэтому полная временная эволюция описывается пропагатором, построенным из энергетического спектра, который отображает состояние в один момент времени в любой последующий момент времени.

Clinical relevance

Эта пара уравнений является отправной точкой почти для всех квантовых расчётов: стационарные состояния дают спектральные линии, измеряемые в атомной и молекулярной спектроскопии, в то время как зависящая от времени форма управляет переходами, динамикой волновых пакетов и когерентным управлением кубитами в квантовых технологиях.

History

Шрёдингер представил обе формы своего уравнения в серии статей 1926 года, немедленно применив независящее от времени уравнение к атому водорода; Дирак и фон Нейман позже переформулировали временную эволюцию в абстрактном операторном языке унитарных пропагаторов.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

Почему состояние называется стационарным, если оно всё ещё эволюционирует во времени?

Стационарное состояние приобретает только общую осциллирующую фазу, которая сокращается в любой вероятности измерения или ожидаемом значении, поэтому все наблюдаемые свойства остаются постоянными во времени, хотя сама волновая функция продолжает вращаться в комплексной плоскости.

Когда можно использовать независящее от времени уравнение Шрёдингера?

Оно применяется, когда гамильтониан явно не зависит от времени, что позволяет разделить переменные; для зависящих от времени потенциалов необходимо решать полное зависящее от времени уравнение или использовать теорию возмущений, зависящую от времени.