Стационарные решения уравнения Шрёдингера

Нахождение энергетических уровней и стационарных волновых функций квантовой частицы в потенциале является первой задачей вычислительной квантовой механики, решаемой либо методом стрельбы вдоль волновой функции, либо диагонализацией дискретизированного гамильтониана.

Definition

Стационарное уравнение Шрёдингера представляет собой уравнение на собственные значения, решениями которого являются стационарные состояния и энергетические уровни квантовой системы; численное решение означает нахождение этих собственных значений и собственных функций для заданного потенциала.

Scope

Эта тема охватывает численное решение стационарного уравнения Шрёдингера в одном и нескольких измерениях: метод стрельбы и сшивки с поиском собственных значений, метод интегрирования Нумерова и матричные методы, которые дискретизируют гамильтониан на сетке или в базисе. Рассматриваются связанные состояния и, кратко, состояния рассеяния.

Core questions

• Как метод стрельбы находит собственные значения энергии, обеспечивая выполнение граничных условий?
• Почему метод Нумерова хорошо подходит для интегрирования уравнения Шрёдингера?
• Как дискретизация гамильтониана превращает задачу в диагонализацию матрицы?
• Как дискретные связанные состояния отличаются от континуума?

Key theories

Метод стрельбы и сшивки

Волновая функция интегрируется от границ внутрь для пробной энергии, и энергия корректируется до тех пор, пока внутренние и внешние решения плавно не сойдутся, что позволяет выбрать допустимые собственные значения.

Интегрирование по Нумерову

Метод Нумерова использует особую структуру уравнения Шрёдингера, не имеющего члена с первой производной, для достижения высокой точности при низких затратах при интегрировании волновой функции.

Матричная диагонализация гамильтониана

Представление гамильтониана на сетке или в конечном базисе дает матрицу, собственные значения которой являются энергетическими уровнями, а собственные векторы — дискретизированными волновыми функциями, найденными с помощью стандартных решателей собственных задач.

Clinical relevance

Решение стационарного уравнения Шрёдингера позволяет определить атомные и молекулярные энергетические уровни, спектры квантовых ям и наноструктур, а также одночастичные орбитали, используемые в расчетах электронной структуры.

History

Численное интегрирование уравнения Шрёдингера последовало вскоре после его формулировки в 1926 году, при этом метод Нумерова, первоначально разработанный для небесной механики, стал основным; развитие компьютеров сделало полную диагонализацию гамильтониана рутинной альтернативой.

Key figures

• Boris Numerov
• Erwin Schrodinger
• Jos Thijssen

Seminal works

• thijssen2007
• giordano2006

Frequently asked questions

Когда следует использовать метод стрельбы вместо матричной диагонализации?

Метод стрельбы является естественным и точным для одномерных или радиальных задач, где требуется найти одно собственное значение за раз. Матричная диагонализация более удобна, когда требуется много уровней одновременно или в более высоких измерениях, где метод стрельбы становится неудобным.

Почему метод Нумерова предпочтителен для этого уравнения?

Уравнение Шрёдингера не содержит члена с первой производной, что специально используется в схеме Нумерова, обеспечивая точность четвертого порядка с небольшими дополнительными затратами по сравнению с базовым интегратором.