Квантовый гармонический осциллятор

Квантовый гармонический осциллятор описывает частицу в параболическом потенциале и имеет равноотстоящие энергетические уровни, разделенные фиксированным квантом энергии; его решение с помощью лестничных операторов и гауссово основное состояние делают его наиболее часто используемой моделью в квантовой физике.

Definition

Квантовый гармонический осциллятор — это квантовая система частицы, связанной потенциалом, пропорциональным квадрату ее смещения, энергетические уровни которой равноотстоят, а операторы уничтожения и рождения переходят между соседними уровнями.

Scope

Тема охватывает параболический потенциал и его уравнение Шредингера, аналитическое решение в терминах полиномов Эрмита и гауссовых огибающих, алгебраическое решение с использованием операторов рождения и уничтожения, равноотстоящий спектр с его энергией нулевых колебаний, когерентные и сжатые состояния, а также роль осциллятора как строительного блока для квантованных полей и колебаний решетки.

Core questions

• Почему энергетические уровни осциллятора равноотстоят?
• Как лестничные операторы генерируют спектр без решения дифференциального уравнения?
• В чем значимость ненулевой энергии основного состояния осциллятора?
• Почему гармонический осциллятор встречается во многих областях физики?

Key concepts

• параболический потенциал
• лестничные операторы
• равноотстоящий спектр
• энергия нулевых колебаний
• полиномы Эрмита
• когерентные состояния

Key theories

Алгебра лестничных операторов

Разложение гамильтониана на операторы рождения и уничтожения, которые увеличивают или уменьшают энергию на один квант, позволяет алгебраически получить весь спектр и все собственные состояния, начиная с основного состояния, аннигилируемого оператором уничтожения.

Когерентные состояния

Собственные состояния оператора уничтожения образуют когерентные состояния с минимальной неопределенностью, которые колеблются как классическая частица, сохраняя при этом гауссову форму основного состояния, обеспечивая ближайший квантовый аналог классического гармонического движения и естественные состояния лазерного света.

Clinical relevance

Гармонический осциллятор является универсальной моделью для малых колебаний: он описывает молекулярные и решеточные колебания, лежащие в основе теплоемкости и инфракрасных спектров, фононы в твердых телах и квантованные моды электромагнитного поля, что делает его основой квантовой теории поля и квантовой оптики.

History

Осциллятор был решен в первые дни волновой механики в 1926 году; операторный метод Дирака придал ему элегантную алгебраическую форму, а теория когерентных состояний Глаубера 1963 года напрямую связала осциллятор с квантовым описанием лазерного света, работа, отмеченная Нобелевской премией.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• Roy Glauber

Seminal works

• sakurai2017
• shankar1994

Frequently asked questions

Почему энергетические уровни осциллятора расположены равномерно?

Лестничные операторы повышают или понижают энергию ровно на один фиксированный квант при каждом своем действии, поэтому последовательные уровни различаются на одну и ту же величину; это равномерное расстояние позволяет осциллятору моделировать квантованное поле идентичных квантов энергии.

Что делает гармонический осциллятор столь широко применимым?

Любой гладкий потенциал вблизи стабильного минимума выглядит параболическим в первом приближении, поэтому малые колебания почти любой системы, от молекул до полей, сводятся к гармоническим осцилляторам, что делает эту решенную задачу применимой во всей физике.