Лемма Неймана-Пирсона

Лемма Неймана-Пирсона является основополагающим результатом в области проверки статистических гипотез: для двух простых гипотез критерий, основанный на пороговом значении отношения правдоподобия, является наиболее мощным при любом заданном уровне значимости.

Definition

Лемма Неймана-Пирсона утверждает, что для проверки простой нулевой гипотезы против простой альтернативной гипотезы при фиксированном уровне значимости наиболее мощный критерий отвергает нулевую гипотезу, когда отношение правдоподобия альтернативной гипотезы к нулевой превышает константу, с рандомизацией на границе.

Scope

Эта тема охватывает простые нулевые и простые альтернативные гипотезы, статистику отношения правдоподобия, построение наиболее мощного критерия путем пороговой обработки этого отношения, использование рандомизации для достижения точного уровня значимости в дискретных задачах, существование и единственность наиболее мощного критерия, а также роль леммы как основы для равномерно наиболее мощных и несмещенных критериев.

Core questions

• Почему отношение правдоподобия является оптимальной статистикой критерия для двух простых гипотез?
• Как выбирается порог отклонения для достижения заданного уровня значимости?
• Когда требуется рандомизация для достижения точного уровня значимости и как она работает?
• Как лемма обобщается на сложные гипотезы?

Key theories

Наиболее мощный критерий отношения правдоподобия

Среди всех критериев заданного уровня значимости тот, который отклоняет нулевую гипотезу, когда отношение правдоподобия превышает константу, максимизирует мощность; никакой другой критерий того же уровня значимости не имеет большей мощности против альтернативной гипотезы.

Рандомизированные критерии и точный уровень значимости

В дискретных задачах точный уровень значимости может потребовать рандомизированного решения на границе области отклонения, что лемма включает для сохранения точного свойства наибольшей мощности.

Clinical relevance

Пороговое значение отношения правдоподобия является оптимальным правилом принятия решений в обнаружении сигналов, радиолокации и диагностической классификации, где оно определяет рабочую характеристику приемника и устанавливает достижимый компромисс между частотой обнаружения и частотой ложных тревог.

History

Нейман и Пирсон опубликовали лемму в своей статье 1933 года, в которой была представлена концепция двух гипотез, вероятностей ошибок и мощности, что вытеснило чисто фишеровское тестирование значимости как основу оптимальности в этой области.

Key figures

• Jerzy Neyman
• Egon Pearson
• Erich L. Lehmann
• Joseph P. Romano

Seminal works

• neymanPearson1933

Frequently asked questions

Какие требования лемма Неймана-Пирсона предъявляет к гипотезам?

В своей базовой форме как нулевая, так и альтернативная гипотезы должны быть простыми, то есть каждая полностью специфицирует распределение; расширения рассматривают сложные гипотезы через монотонные отношения правдоподобия или несмещенность.

Почему рандомизация иногда является частью оптимального критерия?

В дискретных условиях ни одна фиксированная область отклонения не может иметь точно желаемый уровень значимости, поэтому оптимальный критерий рандомизирует свое решение на границе, чтобы точно достичь целевого уровня значимости.