Двойственность тестов и доверительных множеств

Каждое доверительное множество соответствует семейству гипотетических тестов и наоборот: значения параметров, которые тест не отклоняет, образуют доверительное множество на дополнительном уровне.

Definition

Двойственность тестов и доверительных множеств — это эквивалентность, при которой набор значений параметров, не отклоненных семейством тестов уровня альфа, является доверительным множеством с покрытием один минус альфа, и любое доверительное множество определяет такое семейство тестов.

Scope

Эта тема охватывает формальное соответствие между областями принятия тестов уровня альфа и доверительными множествами уровня один минус альфа, построение доверительных множеств путем инверсии теста, перенос оптимальности таким образом, что равномерно наиболее мощные несмещенные тесты дают равномерно наиболее точные несмещенные доверительные множества, результирующие односторонние и двусторонние интервалы, а также использование инверсии, когда удобная опорная функция отсутствует.

Core questions

• Как область принятия теста, рассматриваемая как функция параметра, определяет доверительное множество?
• Почему покрытие инвертированного множества равно единице минус размер тестов?
• Как оптимальность теста переносится на точность соответствующего доверительного множества?
• Когда инверсия теста предпочтительнее пивотального метода?

Key theories

Инверсия теста

Фиксация данных и сбор всех значений параметров, для которых тест принимает данные, приводит к доверительному множеству, покрытие которого равно единице минус общий размер тестов.

Равномерно наиболее точные доверительные множества

Инверсия равномерно наиболее мощного несмещенного теста дает доверительное множество, которое минимизирует вероятность покрытия ложных значений параметров, что является доверительным аналогом оптимальной мощности.

Clinical relevance

Инверсия теста является практическим путем к доверительным интервалам, когда отсутствует замкнутая форма опорной функции, например, интервалы профильного правдоподобия для отношений шансов и отношений рисков, которые получаются путем сбора значений параметров, которые тест отношения правдоподобия не отклонил бы.

History

Теория доверия Неймана 1937 года уже демонстрировала связь между интервалами и тестами, а теория оптимальности тестов Лемана, позднее пересмотренная с Романо, сделала перенос оптимальности на доверительные множества явным и систематическим.

Key figures

• Jerzy Neyman
• Erich L. Lehmann
• Joseph P. Romano
• George Casella

Seminal works

• lehmannRomano2005

Frequently asked questions

Почему двойственность полезна на практике?

Она позволяет построить доверительный интервал всякий раз, когда можно проверять гипотезы, даже без опорной функции или замкнутой формы, путем сбора всех значений параметров, которые тест не отклоняет; интервалы профильного правдоподобия являются распространенным примером.

Означает ли двойственность, что тесты и интервалы всегда согласуются?

Да, по построению: значение находится вне доверительного интервала ровно тогда, когда соответствующая нулевая гипотеза отклоняется на соответствующем уровне, поэтому оба приходят к одному и тому же выводу.