Равномерно наиболее мощные критерии

Равномерно наиболее мощный критерий является наиболее мощным против каждой альтернативы одновременно; такие критерии существуют для односторонних задач с монотонным отношением правдоподобия и в противном случае ищутся в рамках ограниченных классов.

Definition

Критерий является равномерно наиболее мощным при заданном уровне значимости, если среди всех критериев этого уровня он обладает наибольшей мощностью одновременно против каждого распределения в альтернативной гипотезе.

Scope

Эта тема охватывает составные гипотезы, свойство монотонного отношения правдоподобия и семейства, которые им обладают, существование равномерно наиболее мощных критериев для односторонних альтернатив, отсутствие таких критериев для двусторонних альтернатив, а также ограничение несмещенными или инвариантными критериями, которое восстанавливает оптимальность, включая равномерно наиболее мощные несмещенные критерии в экспоненциальных семействах.

Core questions

• Что такое свойство монотонного отношения правдоподобия и какие семейства им обладают?
• Почему равномерно наиболее мощные критерии существуют для односторонних, но не для двусторонних альтернатив?
• Как ограничение несмещенными критериями позволяет получить оптимальный двусторонний критерий?
• Как инвариантность упрощает задачу, так что равномерно наиболее мощный критерий существует?

Key theories

Монотонное отношение правдоподобия и односторонние критерии

Если отношение правдоподобия монотонно по статистике, то критерий, отвергающий гипотезу при больших значениях этой статистики, является равномерно наиболее мощным для соответствующей односторонней альтернативы, расширяя лемму Неймана-Пирсона на составную альтернативу.

Равномерно наиболее мощные несмещенные критерии

Для двусторонних альтернатив равномерно наиболее мощный критерий не существует, но в классе несмещенных критериев оптимальный критерий существует, и в экспоненциальных семействах он принимает явную двустороннюю форму.

Clinical relevance

Стандартные односторонние z- и t-критерии, используемые в клинических испытаниях и контроле качества, являются равномерно наиболее мощными для своих задач, поэтому теория объясняет, почему эти привычные процедуры являются не просто общепринятыми, но и оптимальными среди критериев с контролируемым уровнем значимости.

History

Опираясь на лемму Неймана-Пирсона 1933 года, Леман систематизировал равномерно наиболее мощные, несмещенные и инвариантные критерии в своей монографии 1959 года «Проверка статистических гипотез» (Testing Statistical Hypotheses), позднее переработанной совместно с Романо, которая остается стандартным справочником.

Key figures

• Erich L. Lehmann
• Jerzy Neyman
• Egon Pearson
• Joseph P. Romano

Seminal works

• lehmannRomano2005

Frequently asked questions

Почему не существует равномерно наиболее мощного критерия для двусторонних альтернатив?

Потому что наиболее мощный критерий против альтернативы с одной стороны отличается от критерия против альтернативы с другой стороны, поэтому ни один критерий не может быть наиболее мощным против обеих одновременно; ограничение несмещенными критериями разрешает этот конфликт.

Что дает свойство монотонного отношения правдоподобия?

Оно гарантирует, что простой односторонний критерий, основанный на одной статистике, является равномерно наиболее мощным, поэтому оптимальность для всей односторонней альтернативы следует без отдельной проверки каждой альтернативы.