Обобщенные координаты и связи

Обобщенные координаты — это любые независимые переменные, которые определяют конфигурацию системы, выбранные таким образом, чтобы учесть связи и уменьшить количество степеней свободы, которые необходимо отслеживать.

Definition

Обобщенные координаты — это минимальный набор независимых параметров, которые однозначно определяют конфигурацию механической системы в соответствии с ее связями, сводя ее описание к истинному числу степеней свободы.

Scope

Эта тема охватывает выбор обобщенных координат, понятия конфигурационного пространства и степеней свободы, а также классификацию связей на голономные и неголономные, склерономные и реономные. В ней рассматривается, как голономные связи устраняются путем соответствующего выбора координат, и как принцип виртуальной работы и принцип Д'Аламбера учитывают силы связей.

Core questions

• Как выбор обобщенных координат уменьшает количество переменных в задаче?
• Что отличает голономные связи от неголономных?
• Как принцип Д'Аламбера и виртуальная работа устраняют неизвестные силы связей?

Key concepts

• Обобщенные координаты
• Степени свободы
• Конфигурационное пространство
• Голономные и неголономные связи
• Виртуальное перемещение и виртуальная работа
• Силы связей

Key theories

Голономные связи и степени свободы

Голономные связи выражаются как уравнения между координатами и временем; каждая из них уменьшает количество степеней свободы на единицу и может быть учтена путем выбора подходящих обобщенных координат.

Принцип Д'Аламбера и виртуальная работа

Допуская только виртуальные перемещения, согласующиеся со связями, силы связей, которые не совершают виртуальной работы, исключаются, оставляя уравнения движения только в терминах приложенных сил.

Clinical relevance

Выбор обобщенных координат, учитывающих связи, делает динамику шарнирных механизмов, роботизированных манипуляторов, зубчатых передач и сочлененных механизмов разрешимой, а различие между голономными и неголономными связями является решающим для управления системами качения и колесными системами.

History

Принцип Д'Аламбера 1743 года свел динамику к задаче статики путем объединения инерционных и приложенных сил, а Лагранж, опираясь на него, разработал метод обобщенных координат, который устраняет силы связей. Систематическая классификация связей, включая термин «неголономные», была уточнена в конце XIX века Герцем и другими.

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

Что делает связь неголономной?

Неголономная связь не может быть записана как алгебраическое соотношение только между координатами; она обычно включает скорости неинтегрируемым образом, как, например, при качении колеса без проскальзывания, и не может быть устранена изменением координат.

Почему удобно устранять силы связей?

Силы связей обычно неизвестны и не представляют интереса, например, нормальная сила от направляющей. Поскольку они не совершают работы при виртуальных перемещениях, согласующихся со связями, лагранжев метод автоматически исключает их из уравнений движения.