Принцип наименьшего действия

Принцип наименьшего действия утверждает, что физический путь, по которому система движется между двумя конфигурациями, является тем, для которого интеграл действия стационарен.

Definition

Принцип наименьшего действия — это утверждение о том, что механическая система эволюционирует по траектории, для которой действие, интеграл Лагранжиана по времени, стационарно при малых вариациях пути с фиксированными конечными точками.

Scope

Эта тема охватывает функционал действия как интеграл Лагранжиана по времени, принцип стационарного действия Гамильтона, вариационное исчисление, используемое для извлечения физических путей, и различие между более старым принципом Мопертюи (сокращенное действие) и принципом Гамильтона. Она объясняет, почему одно вариационное утверждение может кодировать всю механику.

Core questions

• Что такое действие и что значит, что оно стационарно?
• Чем принцип Гамильтона отличается от более старого принципа наименьшего действия Мопертюи?
• Почему один вариационный принцип может воспроизвести всю ньютоновскую динамику?

Key concepts

• Функционал действия
• Вариационное исчисление
• Стационарный (экстремальный) путь
• Граничные условия (конечные точки)
• Сокращенное действие

Key theories

Принцип Гамильтона

Среди всех путей с фиксированными конечными точками в конфигурационном пространстве физическое движение — это то, для которого интеграл действия имеет нулевую первую вариацию, что делает действие стационарным.

Принцип сокращенного действия Мопертюи

Более ранняя вариационная форма фиксирует энергию и делает сокращенное действие стационарным по пути в конфигурационном пространстве, что эквивалентно принципу Гамильтона при соответствующих условиях.

Clinical relevance

Принцип действия является концептуальным мостом от классической к современной физике: он обобщается на релятивистскую теорию поля и служит основой формулировки квантовой механики Фейнмана через интегралы по траекториям, где каждый путь вносит вклад, взвешенный по действию.

History

Мопертюи предложил принцип наименьшего действия в 1740-х годах на метафизических основаниях, который Эйлер и Лагранж поставили на прочную математическую основу с помощью вариационного исчисления. Гамильтон переформулировал его в 1830-х годах в современный принцип стационарного действия по времени, который стал объединяющей отправной точкой как для лагранжевой, так и для гамильтоновой механики.

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

Действительно ли действие минимизируется?

Часто, но не всегда. Определяющим условием является стационарность действия, что означает обращение в нуль его первой вариации; для достаточно длинных путей стационарная точка может быть седловой, а не минимумом.

Как принцип связан с квантовой механикой?

В интеграле по траекториям Фейнмана квантовая амплитуда суммирует вклады от всех путей, взвешенные экспонентой действия; классический путь наименьшего действия возникает там, где близлежащие вклады складываются конструктивно.