Уравнения Гамильтона и фазовое пространство

Уравнения Гамильтона представляют собой пару уравнений первого порядка, описывающих временную эволюцию координат и сопряженных импульсов как производные от гамильтониана, характеризуя движение как поток в фазовом пространстве.

Definition

Уравнения Гамильтона — это два дифференциальных уравнения первого порядка, одно из которых описывает скорость изменения каждой координаты, а другое — каждого сопряженного импульса как частные производные гамильтониана, которые определяют траекторию системы в фазовом пространстве.

Scope

Эта тема охватывает преобразование Лежандра, которое определяет гамильтониан из лагранжиана, результирующие канонические уравнения для каждой пары координата-импульс, структуру фазового пространства и траектории в нем, а также теорему Лиувилля о сохранении объема фазового пространства при гамильтоновом потоке.

Core questions

• Как гамильтониан строится из лагранжиана с помощью преобразования Лежандра?
• Что представляет собой траектория в фазовом пространстве и как она эволюционирует?
• Почему объем фазового пространства сохраняется при гамильтоновом потоке?

Key concepts

• Преобразование Лежандра
• Сопряженный импульс
• Фазовое пространство и фазовая траектория
• Канонические уравнения
• Теорема Лиувилля
• Энергетическая поверхность

Key theories

Канонические уравнения Гамильтона

Движение описывается уравнениями первого порядка, в которых скорость изменения каждой координаты равна производной гамильтониана по импульсу, а скорость изменения каждого импульса равна минус производной гамильтониана по координате.

Теорема Лиувилля

Поток, порождаемый гамильтонианом, сохраняет объем в фазовом пространстве, так что область начальных условий эволюционирует без изменения своей фазово-пространственной меры, что является краеугольным камнем статистической механики.

Clinical relevance

Фазово-пространственная картина и теорема Лиувилля являются основой статистической механики и ансамблевых методов, динамики пучков ускорителей, где площадь фазового пространства является сохраняющимся эмиттансом, а также численных симплектических интеграторов, используемых в долгосрочных орбитальных и молекулярных симуляциях.

History

Гамильтон ввел канонические уравнения в своих работах 1834-1835 годов по общему методу в динамике, преобразовав описание Лагранжа второго порядка в симметричное описание первого порядка. Теорема Лиувилля 1838 года о сохранении объема и последующее использование Гиббсом фазового пространства для статистических ансамблей утвердили фазово-пространственную точку зрения как центральную в физике.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

Что такое фазовое пространство?

Фазовое пространство — это пространство, координатами которого являются все обобщенные положения и их сопряженные импульсы; одна точка полностью определяет мгновенное состояние системы, а история системы представляет собой кривую в этом пространстве.

Почему уравнения Гамильтона первого порядка, а уравнения Лагранжа второго порядка?

Рассматривая импульсы как независимые переменные наряду с координатами, гамильтонова формулировка удваивает число переменных, но понижает порядок каждого уравнения до первого, выявляя симметричную структуру фазового пространства.