Опорные величины и доверительные интервалы

Опорная величина имеет распределение, которое не зависит от неизвестного параметра, что позволяет преобразовать вероятностное утверждение в доверительный интервал.

Definition

Опорная величина — это функция данных и параметра, чье вероятностное распределение одинаково для каждого значения параметра; инвертирование вероятностного утверждения об опорной величине дает доверительный интервал для параметра.

Scope

Эта тема охватывает определение опорной величины, опорный метод построения точных доверительных интервалов, канонические опорные величины в моделях положения-масштаба и нормальных моделях, такие как t- и хи-квадрат опорные величины, выбор конечных точек интервала для контроля длины и симметрии, а также асимптотические приближенные опорные величины, которые дают интервалы типа Вальда из асимптотической нормальности.

Core questions

• Что отличает опорную величину от обычной статистики, и почему распределение, не зависящее от параметра, является существенным?
• Как опорный метод преобразует вероятностное утверждение в интервал?
• Каковы стандартные опорные величины для среднего и дисперсии нормальной выборки?
• Как асимптотические опорные величины, основанные на нормальности, дают приближенные интервалы, когда точные опорные величины недоступны?

Key theories

Опорный метод

Если опорная величина имеет известное распределение, выбор квантилей, охватывающих заданную вероятность, и решение полученных неравенств для параметра дает доверительный интервал с точно таким же уровнем охвата.

Асимптотические опорные величины и интервалы Вальда

Когда точной опорной величины не существует, оценка минус параметр, деленная на ее стандартную ошибку, является приблизительно стандартной нормальной в больших выборках, что дает знакомый доверительный интервал «оценка плюс-минус погрешность».

Clinical relevance

Опорный метод дает t-интервал для среднего и хи-квадрат интервал для дисперсии, которые широко используются в прикладных исследованиях, в то время как асимптотические опорные величины дают интервалы «оценка плюс-минус погрешность», используемые для пропорций, коэффициентов регрессии и оценок обследований.

History

Вывод Госсетом в 1908 году t-распределения под псевдонимом Стьюдент предоставил первую точную опорную величину для нормального среднего, а теория доверия Неймана 1937 года поместила опорную конструкцию в общую частотную структуру.

Key figures

• Jerzy Neyman
• William Sealy Gosset
• Ronald A. Fisher
• George Casella

Seminal works

• casella2002

Frequently asked questions

Что делает величину опорной?

Ее распределение должно быть абсолютно одинаковым для каждого значения неизвестного параметра; только тогда можно выбрать квантили, не зная параметра, что позволяет получить интервал с гарантированным уровнем охвата.

Являются ли интервалы Вальда точными?

Нет. Они основаны на асимптотической нормальности оценки и поэтому имеют лишь приблизительный уровень охвата в конечных выборках, который может быть плохим для малых выборок или параметров, близких к границе, таких как пропорция, близкая к нулю или единице.