Lema de Neyman-Pearson

O lema de Neyman-Pearson é o resultado fundamental dos testes de hipóteses: para duas hipóteses simples, o teste que estabelece um limiar para a razão de verossimilhança é o mais potente para qualquer tamanho dado.

Definition

O lema de Neyman-Pearson afirma que, para testar uma hipótese nula simples contra uma alternativa simples com um tamanho fixo, o teste mais potente rejeita a hipótese nula quando a razão da verossimilhança da alternativa pela verossimilhança da nula excede uma constante, com randomização na fronteira.

Scope

Este tópico abrange hipóteses nulas e alternativas simples, a estatística da razão de verossimilhança, a construção do teste mais potente através do estabelecimento de um limiar para essa razão, o uso da randomização para alcançar um tamanho exato em problemas discretos, a existência e unicidade do teste mais potente, e o papel do lema como base para testes uniformemente mais potentes e não enviesados.

Core questions

• Por que a razão de verossimilhança é a estatística de teste ótima para duas hipóteses simples?
• Como o limiar de rejeição é escolhido para alcançar um tamanho prescrito?
• Quando a randomização é necessária para atingir um tamanho exato e como ela funciona?
• Como o lema se generaliza para hipóteses compostas?

Key theories

Teste da razão de verossimilhança mais potente

Entre todos os testes de um dado tamanho, aquele que rejeita quando a razão de verossimilhança excede uma constante maximiza o poder; qualquer outro teste do mesmo tamanho não possui maior poder contra a alternativa.

Testes randomizados e tamanho exato

Em problemas discretos, um tamanho exato pode exigir uma decisão randomizada na fronteira da região de rejeição, o que o lema incorpora para manter a propriedade de ser o mais potente exata.

Clinical relevance

O limiar da razão de verossimilhança é a regra de decisão ótima na detecção de sinais, radar e classificação diagnóstica, onde define a característica de operação do receptor e estabelece o trade-off alcançável entre a taxa de detecção e a taxa de falsos alarmes.

History

Neyman e Pearson publicaram o lema em seu artigo de 1933, que introduziu a estrutura de duas hipóteses, probabilidades de erro e poder, substituindo os testes de significância puramente Fisherianos como a base de otimalidade do assunto.

Key figures

• Jerzy Neyman
• Egon Pearson
• Erich L. Lehmann
• Joseph P. Romano

Seminal works

• neymanPearson1933

Frequently asked questions

O que o lema de Neyman-Pearson exige das hipóteses?

Em sua forma básica, tanto a hipótese nula quanto a alternativa devem ser simples, o que significa que cada uma especifica completamente a distribuição; extensões lidam com hipóteses compostas através de razões de verossimilhança monótonas ou não viés.

Por que a randomização é por vezes parte do teste ótimo?

Em configurações discretas, nenhuma região de rejeição fixa pode ter exatamente o tamanho desejado, então o teste ótimo randomiza sua decisão na fronteira para atingir o tamanho alvo com precisão.