Integração de Monte Carlo

A integração de Monte Carlo estima uma integral definida como a média do integrando sobre pontos amostrais aleatórios, reformulando a integração como a estimação de uma expectativa.

Definition

A integração de Monte Carlo é a aproximação de uma integral escrevendo-a como a expectativa de uma função sob uma distribuição de amostragem e estimando essa expectativa pela média da amostra sobre extrações da distribuição.

Scope

Este tópico abrange a representação de uma integral como uma expectativa, o estimador de Monte Carlo "plain" (bruto) e sua não-tendenciosidade, a taxa de convergência raiz-n e sua independência da dimensão, a estimação de erro através do desvio padrão da amostra, e a comparação com a quadratura determinística. Refinamentos de redução de variância são tratados como extensões abordadas em outros locais.

Core questions

• Como uma integral arbitrária é expressa como uma expectativa adequada para amostragem?
• Por que o estimador de Monte Carlo bruto é não-tendencioso e consistente?
• O que governa a taxa de erro raiz-n, e por que ela é independente da dimensão?
• Quando a integração de Monte Carlo supera a quadratura determinística?

Key concepts

• Estimador de Monte Carlo bruto
• Não-tendenciosidade
• Erro padrão
• Independência da dimensão
• Densidade de amostragem

Key theories

Integral como expectativa

Escrever uma integral como a expectativa do integrando dividido por uma densidade de amostragem transforma a integração na estimação de uma média, que a média da amostra estima sem viés.

Taxa de convergência e estimação de erro

O teorema do limite central fornece um erro padrão proporcional a um sobre a raiz quadrada do tamanho da amostra, independente da dimensão da integral, e o desvio padrão empírico dos somandos fornece uma estimativa de erro utilizável.

Clinical relevance

A integração de Monte Carlo calcula constantes de normalização, expectativas posteriores, verossimilhanças marginais e expectativas de alta dimensão que surgem em toda a estatística e nas ciências físicas; sua taxa de erro independente da dimensão a torna o método de escolha onde a quadratura baseada em grade se torna inviável.

History

A ideia de estimar integrais por amostragem data dos cálculos de Los Alamos na década de 1940 e do artigo de Metropolis e Ulam de 1949; tornou-se prática rotineira à medida que o poder computacional cresceu e à medida que os estatísticos reconheceram sua vantagem sobre a quadratura em altas dimensões.

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Nicholas Metropolis
• Christian P. Robert

Seminal works

• robert2004
• metropolis1949

Frequently asked questions

Qual a precisão da integração de Monte Carlo?

Seu erro diminui como um sobre a raiz quadrada do número de amostras, então quadruplicar o tamanho da amostra reduz o erro pela metade. O estimador também vem com uma estimativa de erro embutida a partir do desvio padrão da amostra dos valores do integrando.

Quando devo preferir Monte Carlo à quadratura padrão?

Para integrais suaves de baixa dimensão, a quadratura determinística geralmente converge mais rapidamente. Monte Carlo vence em altas dimensões, onde o custo de uma grade cresce exponencialmente, mas a taxa de erro de Monte Carlo permanece a mesma.