Integração Numérica em Estatística

A integração numérica em estatística avalia as integrais que definem verossimilhanças marginais, expectativas posteriores e constantes de normalização quando essas integrais não possuem uma forma fechada.

Definition

A integração numérica em estatística é o uso de regras de quadratura determinísticas e aproximações analíticas para avaliar as integrais que surgem na inferência baseada em verossimilhança e bayesiana, particularmente verossimilhanças marginais e momentos posteriores.

Scope

Este tópico abrange a quadratura determinística adaptada a integrandos estatísticos, incluindo as regras de Gauss-Hermite para integrar efeitos aleatórios normais, quadratura adaptativa e a aproximação de Laplace para integrais dominadas por um pico acentuado. Complementa a integração de Monte Carlo, que é tratada em métodos de Monte Carlo, focando em esquemas determinísticos de baixa dimensão.

Core questions

• Como os efeitos aleatórios são integrados a partir de uma verossimilhança usando a quadratura gaussiana?
• Quando a quadratura adaptativa supera as regras fixas para integrandos estatísticos?
• Como a aproximação de Laplace explora um integrando com pico acentuado?
• Quando os métodos de quadratura determinísticos são preferíveis à integração de Monte Carlo?

Key concepts

• Quadratura de Gauss-Hermite
• Quadratura adaptativa
• Aproximação de Laplace
• Verossimilhança marginal
• Constante de normalização

Key theories

Quadratura de Gauss-Hermite para efeitos aleatórios

Integrais contra uma densidade normal, como aquelas que marginalizam efeitos aleatórios em modelos mistos, são avaliadas eficientemente pelas regras de Gauss-Hermite, com versões adaptativas centrando os nós perto do modo do integrando.

Aproximação de Laplace

A aproximação de um integrando com pico acentuado por uma gaussiana em torno de seu modo produz uma estimativa em forma fechada da integral, precisa quando o pico domina, e fundamenta a inferência aproximada rápida para muitos modelos hierárquicos.

Clinical relevance

O ajuste de modelos lineares generalizados mistos, o cálculo de fatores de Bayes e a obtenção de resumos posteriores exigem a avaliação de integrais intratáveis; a quadratura determinística e a aproximação de Laplace fornecem alternativas rápidas e precisas à simulação para integrais de baixa dimensão.

History

A quadratura clássica e o método de Laplace para aproximar integrais foram adaptados por estatísticos para o cálculo de verossimilhança e bayesiano, com a quadratura adaptativa de Gauss-Hermite e a aproximação de Laplace tornando-se ferramentas padrão para modelos mistos e hierárquicos.

Key figures

• John Monahan
• Kenneth Lange
• Pierre-Simon Laplace

Seminal works

• monahan2011
• lange2010

Frequently asked questions

Quando devo usar a quadratura em vez de Monte Carlo para uma integral estatística?

Para integrais de baixa dimensão com integrandos suaves, a quadratura determinística converge muito mais rapidamente e fornece uma resposta determinística. Monte Carlo torna-se preferível à medida que a dimensão aumenta, onde as grades de quadratura se tornam impraticáveis.

Para que serve a aproximação de Laplace?

Ela fornece uma aproximação rápida em forma fechada para integrais dominadas por um único pico acentuado, como verossimilhanças marginais em modelos bem identificados. É precisa quando o integrando é aproximadamente gaussiano perto de seu modo.