Quadratura Gaussiana

A quadratura gaussiana escolhe tanto os nós quanto os pesos de uma regra de quadratura para maximizar seu grau polinomial de exatidão, integrando polinômios de grau 2n-1 exatamente com apenas n avaliações de função.

Definition

A quadratura gaussiana é uma família de regras de quadratura cujos nós são as raízes de polinômios ortogonais associados a uma função de peso, escolhidos juntamente com seus pesos para atingir o grau máximo possível de exatidão para um dado número de nós.

Scope

Este tópico abrange a construção de regras gaussianas a partir das raízes de polinômios ortogonais, a regra de Gauss-Legendre e variantes ponderadas (Gauss-Chebyshev, Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre), o algoritmo de autovalores de Golub-Welsch para calcular nós e pesos, e extensões de Gauss-Kronrod usadas para estimativa prática de erros.

Core questions

• Como a colocação de nós nas raízes de polinômios ortogonais dobra o grau de exatidão em comparação com regras de nós fixos?
• Como os nós e pesos são calculados com precisão para uma dada função de peso?
• Como as regras gaussianas ponderadas lidam com integrais com funções de peso singulares ou de domínio infinito?
• Como estimativas de erro confiáveis são obtidas, por exemplo, através de pares de Gauss-Kronrod?

Key theories

Grau máximo de exatidão

Uma regra de quadratura de n pontos pode ser exata para polinômios até o grau 2n-1, e este máximo é atingido precisamente quando os nós são as raízes do polinômio ortogonal de grau n para a função de peso, com todos os pesos positivos.

Algoritmo de Golub-Welsch

Os nós e pesos de uma regra gaussiana são obtidos como os autovalores e os primeiros componentes quadrados do autovetor da matriz de Jacobi simétrica tridiagonal formada a partir dos coeficientes de recorrência dos polinômios ortogonais, transformando a construção da quadratura em um cálculo de autovalores.

Mechanisms

Polinômios ortogonais satisfazem uma recorrência de três termos cujos coeficientes preenchem uma matriz de Jacobi simétrica tridiagonal; o algoritmo de Golub-Welsch calcula seus autovalores (os nós de quadratura) e usa os primeiros componentes dos autovetores para recuperar os pesos, tudo de forma estável. Alterar a função de peso — para uma com singularidades embutidas ou suportada em uma semirreta ou na reta inteira — produz regras de Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre ou Gauss-Hermite que absorvem o comportamento difícil analiticamente. As regras de Gauss-Kronrod reutilizam os nós de Gauss e adicionam nós entrelaçados para que uma estimativa de ordem superior, e, portanto, uma estimativa de erro, seja obtida com um custo extra modesto.

Clinical relevance

A quadratura gaussiana é a ferramenta principal para avaliar integrais de elementos e de rigidez na análise de elementos finitos, para calcular momentos e expectativas em relação a funções de peso de probabilidade em estatística e quantificação de incertezas, e para avaliação de alta precisão de integrais suaves em toda a física e engenharia, onde minimizar o número de avaliações caras do integrando é primordial.

History

Gauss derivou sua quadratura ótima em 1814; Jacobi a conectou a polinômios ortogonais, e o tratamento computacional moderno foi estabelecido pelo algoritmo de Golub-Welsch de 1969, que tornou nós e pesos rotineiramente computáveis e trouxe as regras gaussianas para as bibliotecas numéricas padrão.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

Como n pontos podem integrar um polinômio de grau 2n-1 exatamente?

Como tanto os n nós quanto os n pesos são parâmetros livres, existem 2n graus de liberdade, o suficiente para corresponder às integrais de 2n polinômios de base (graus 0 a 2n-1). A colocação dos nós nas raízes de polinômios ortogonais alcança exatamente isso.

Como a precisão de uma regra gaussiana é verificada na prática?

Uma abordagem comum é o par de Gauss-Kronrod, que aumenta uma regra de Gauss com nós extras para produzir uma estimativa de ordem superior; a diferença entre as duas estimativas serve como uma estimativa de erro prática usada por integradores adaptativos.