Quadratura de Newton-Cotes

As regras de Newton-Cotes aproximam uma integral integrando o polinômio que interpola o integrando em pontos igualmente espaçados, fornecendo fórmulas familiares como as regras trapezoidal e de Simpson.

Definition

Uma regra de quadratura de Newton-Cotes é uma regra de quadratura interpolatória cujos nós são igualmente espaçados ao longo do intervalo de integração, com pesos obtidos pela integração do polinômio interpolador correspondente.

Scope

Este tópico abrange as fórmulas de Newton-Cotes fechadas e abertas, seus graus de exatidão e termos de erro, as regras trapezoidal e de Simpson compostas obtidas pela subdivisão do intervalo, a integração de Romberg via extrapolação de Richardson e a instabilidade das regras de Newton-Cotes de alta ordem que limita seu grau prático.

Core questions

• Como as regras trapezoidal e de Simpson são derivadas como interpolantes integrados?
• Quais são os termos de erro dessas regras e por que a regra de Simpson ganha uma ordem extra de simetria?
• Como as regras compostas e a extrapolação de Romberg melhoram a precisão sistematicamente?
• Por que as regras de Newton-Cotes de alta ordem se tornam instáveis e o que limita seu uso?

Key theories

Grau de exatidão e termos de erro

A regra trapezoidal é exata para integrandos lineares com erro proporcional à segunda derivada, enquanto a regra de Simpson, por simetria, é exata para cúbicas com erro proporcional à quarta derivada, ganhando uma ordem além de seu grau de interpolação.

Regras compostas e integração de Romberg

A aplicação de uma regra básica em muitos subintervalos produz uma regra composta cujo erro diminui polinomialmente no tamanho do passo; a extrapolação de Richardson da regra trapezoidal composta produz o esquema de Romberg de convergência rápida.

Mechanisms

Cada regra básica integra o interpolante equiespaçado exatamente: a regra trapezoidal integra um ajuste de linha reta, a regra de Simpson uma parábola. As regras compostas particionam o intervalo e somam as regras básicas em cada parte, de modo que a redução do tamanho do passo diminui o erro de forma previsível. A integração de Romberg tabula estimativas trapezoidais compostas em tamanhos de passo sucessivamente reduzidos pela metade e aplica extrapolação de Richardson repetida, cancelando os termos de erro principais para alcançar alta precisão para integrandos suaves. As regras de Newton-Cotes de intervalo único de alta ordem adquirem grandes pesos oscilatórios de sinal misto, espelhando o fenômeno de Runge, o que causa cancelamento e instabilidade.

Clinical relevance

As regras de Newton-Cotes, especialmente as formas trapezoidal e de Simpson compostas, são as ferramentas de quadratura de baixo custo padrão quando as amostras do integrando são naturalmente igualmente espaçadas — por exemplo, dados experimentais tabulados, integração de séries temporais e pós-processamento de simulação simples — e a integração de Romberg fornece resultados precisos para funções suaves com codificação mínima.

History

Essas regras originam-se com Newton e Cotes no início do século XVIII e com Thomas Simpson, cuja regra leva seu nome; o esquema de extrapolação de Werner Romberg de 1955 transformou a regra trapezoidal elementar em um método de alta precisão e permanece uma ferramenta padrão de ensino e computação.

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

Por que a regra de Simpson é mais precisa do que a regra trapezoidal?

A regra de Simpson ajusta uma parábola através de três pontos em vez de uma linha através de dois, e devido à simetria, ela integra polinômios cúbicos exatamente, de modo que seu erro depende da quarta derivada e diminui muito mais rapidamente à medida que o tamanho do passo diminui.

Por que não usar apenas uma regra de Newton-Cotes de ordem muito alta?

As regras de Newton-Cotes de alta ordem em nós igualmente espaçados desenvolvem grandes pesos com sinais alternados, causando cancelamento numérico e instabilidade. Na prática, usam-se regras de baixa ordem compostas, extrapolação de Romberg ou quadratura gaussiana.