ウィシャート分布

ウィシャート分布は、カイ二乗分布の多変量一般化であり、多変量正規データからの共分散行列の標本挙動を記述します。

Definition

ウィシャート分布は、尺度行列と自由度によってパラメータ化された、独立した平均ゼロの多変量正規ベクトルの標本から形成される平方和および積和の行列の確率分布です。

Scope

このトピックでは、独立した正規ベクトルの外積の和の分布としてのウィシャート分布の定義、その自由度と尺度行列、標本共分散行列の標本分布としての役割、共分散の共役事前分布としての逆ウィシャート分布、および多変量検定統計量の導出におけるその使用法について説明します。

Core questions

• 標本共分散行列の標本分布とは何ですか？
• 尺度行列と自由度はどのようにウィシャート分布をパラメータ化しますか？
• ウィシャート分布はカイ二乗分布をどのように一般化しますか？
• 逆ウィシャート分布はどこで生じますか？

Key theories

共分散の標本分布

多変量正規母集団からの標本の場合、平方和および積和の行列はウィシャート分布に従います。これは、正規データからのスケーリングされた標本分散がカイ二乗分布に従うという結果を一般化するものです。

逆ウィシャート分布の共役性

逆ウィシャート分布は、多変量正規尤度の共分散行列に対する共役事前分布であり、ベイズ多変量解析の中心的な役割を果たします。

Clinical relevance

ウィシャート分布は、古典的な多変量検定統計量の帰無分布の基礎となり、共分散行列のベイズ推定で使用される共役事前分布を提供します。

History

ジョン・ウィシャートは1928年に多変量正規データからの標本共分散行列の分布を導出し、多変量推論に必要な標本理論を提供し、この分布にその名を与えました。

Key figures

• John Wishart
• T. W. Anderson

Seminal works

• anderson2003
• muirhead1982
• mardia1979

Frequently asked questions

ウィシャート分布はカイ二乗分布とどのように関連していますか？

1次元の場合、ウィシャート分布はスケーリングされたカイ二乗分布に帰着します。ウィシャート分布はこれを、複数の次元における分散と共分散の同時分布に拡張します。

逆ウィシャート分布は何に使用されますか？

ベイズ多変量モデルにおいて共分散行列の共役事前分布として機能し、共分散の扱いやすい事後更新を可能にします。