ピボット量と信頼区間

ピボット量は未知のパラメータに依存しない分布を持つため、確率記述を信頼区間に変換することができます。

Definition

ピボット量とは、データとパラメータの関数であり、その確率分布がすべてのパラメータ値に対して同じであるものです。ピボットに関する確率記述を逆転させることで、パラメータの信頼区間が得られます。

Scope

このトピックでは、ピボット量の定義、正確な信頼区間を構築するためのピボット法、t分布やカイ二乗分布のピボットなど、位置尺度モデルおよび正規モデルにおける標準的なピボット、長さと対称性を制御するための区間終点の選択、および漸近正規性からウォルド型区間を与える大標本近似ピボットについて説明します。

Core questions

• ピボットと通常の統計量を区別するものは何ですか、またパラメータに依存しない分布が不可欠なのはなぜですか？
• ピボット法は確率記述をどのように区間に変換しますか？
• 正規標本の平均と分散に対する標準的なピボットは何ですか？
• 正確なピボットが利用できない場合、正規性に基づく漸近ピボットはどのように近似区間を与えますか？

Key theories

ピボット法

ピボットが既知の分布を持つ場合、与えられた確率を捉える分位点を選択し、結果として得られる不等式をパラメータについて解くことで、正確にそのカバレッジを持つ信頼区間が生成されます。

漸近ピボットとウォルド区間

正確なピボットが存在しない場合、推定値からパラメータを引いたものをその標準誤差で割ったものは、大標本において近似的に標準正規分布に従い、おなじみの「推定値±マージン」の信頼区間が得られます。

Clinical relevance

ピボット法は、応用研究全体で報告されている平均のt区間と分散のカイ二乗区間を生成します。一方、漸近ピボットは、比率、回帰係数、調査推定値に使用される「推定値±マージン」の区間を与えます。

History

ゴセットが1908年に「スチューデント」のペンネームでt分布を導出したことは、正規平均に対する最初の正確なピボットを提供しました。ネイマンの1937年の信頼理論は、ピボット構成を一般的な頻度論的枠組みの中に位置づけました。

Key figures

• Jerzy Neyman
• William Sealy Gosset
• Ronald A. Fisher
• George Casella

Seminal works

• casella2002

Frequently asked questions

何が量をピボットにするのですか？

その分布が未知のパラメータのすべての値に対して完全に同じでなければなりません。そうして初めて、パラメータを知ることなく分位点を選択でき、それが保証されたカバレッジを持つ区間を可能にします。

ウォルド区間は正確ですか？

いいえ。それらは推定量の漸近正規性に依存するため、有限標本では近似的なカバレッジしか持たず、小標本や、ゼロまたは1に近い比率のような境界付近のパラメータでは不十分な場合があります。