検定と信頼集合の双対性

すべての信頼集合は仮説検定の族に対応し、その逆もまた然りである。すなわち、検定が棄却しないパラメータ値は、相補的な水準での信頼集合を形成する。

Definition

検定と信頼集合の双対性とは、水準αの検定の族によって棄却されないパラメータ値の集合が、カバレッジ1-αの信頼集合であるという等価性であり、また任意の信頼集合がそのような検定の族を定義することである。

Scope

このトピックでは、水準αの検定の受容域と水準1-αの信頼集合との間の形式的な対応関係、検定の反転による信頼集合の構築、一様最強力不偏検定が一様最正確不偏信頼集合をもたらすような最適性の移行、結果として得られる片側および両側区間、そして便利なピボットが存在しない場合の反転の使用について扱う。

Core questions

• パラメータの関数として読まれる検定の受容域は、どのように信頼集合を定義するのか？
• 反転された集合のカバレッジが、検定のサイズから1を引いた値に等しいのはなぜか？
• 検定の最適性は、対応する信頼集合の正確さにどのように移行するのか？
• ピボット法よりも検定の反転が好ましいのはどのような場合か？

Key theories

検定の反転

データを固定し、その検定がデータを受容するすべてのパラメータ値を収集すると、カバレッジが検定の共通のサイズから1を引いた値である信頼集合が生成される。

一様最正確信頼集合

一様最強力不偏検定を反転すると、誤ったパラメータ値をカバーする確率を最小化する信頼集合が得られる。これは最適な検出力に相当する信頼区間の特性である。

Clinical relevance

検定の反転は、閉形式のピボットが存在しない場合に信頼区間を得るための実用的な方法である。例えば、オッズ比やハザード比のプロファイル尤度区間は、尤度比検定が棄却しないパラメータ値を収集することによって得られる。

History

ネイマンの1937年の信頼理論は、すでに区間と検定の間の関連性を示しており、後にロマーノと改訂されたレーマンの検定の最適性理論は、最適性の信頼集合への移行を明示的かつ体系的に行った。

Key figures

• Jerzy Neyman
• Erich L. Lehmann
• Joseph P. Romano
• George Casella

Seminal works

• lehmannRomano2005

Frequently asked questions

この双対性は実用上なぜ有用なのか？

ピボットや閉形式がない場合でも、仮説を検定できる限り、検定が棄却しないすべてのパラメータ値を収集することで信頼区間を構築できるためである。プロファイル尤度区間がその一般的な例である。

この双対性は、検定と区間が常に一致することを意味するのか？

はい、構築上その通りである。ある値が信頼区間の外にあるのは、対応する帰無仮説が一致する水準で棄却される場合と全く同じであり、したがって両者は同じ結論に達する。