ほぼ自由電子モデルとタイトバインディングモデル

2つの相補的な近似が実際のバンド構造を挟み込みます。ほぼ自由電子モデルは、弱い格子ポテンシャルによって平面波を摂動させ、一方、タイトバインディングモデルは、局在した原子軌道からバンドを構築します。

Definition

ほぼ自由電子モデルは、自由電子ガスに弱い周期ポテンシャルを加えることでバンドを計算し、ブラッグ反射が起こる場所にギャップを開きます。タイトバインディングモデルは、サイト間のホッピングによって結合された原子軌道の線形結合としてバンドを計算し、隣接する軌道の重なりによって帯域幅が決定されます。

Scope

このトピックでは、バンド構造に対する2つの標準的な解析的アプローチを展開します。ほぼ自由電子モデルは、周期ポテンシャルを弱い摂動として扱い、ゾーン境界で小さなギャップを開くもので、単純な金属に適しています。タイトバインディング（LCAO）モデルは、隣接するサイトの原子軌道を重ね合わせ、ホッピング積分によって幅が決定される狭いバンドを生成し、d電子系や絶縁体に適しています。それぞれの限界がいつ適用されるか、そしてそれらがどのようにして同じバンド構造を反対の端から記述するかを扱います。

Core questions

• 自由電子に対する摂動として扱えるほど、周期ポテンシャルが十分に弱いのはどのような場合ですか？
• 弱いポテンシャルはどのようにしてブリルアンゾーン境界に正確にギャップを開くのですか？
• タイトバインディングモデルはどのようにして原子軌道からバンドを構築し、その幅は何によって決まりますか？
• それぞれの限界によって最もよく記述される物理システムは何ですか？

Key concepts

• ほぼ自由電子モデルと弱い周期ポテンシャル
• ブラッグ反射によるゾーン境界でのギャップ開口
• タイトバインディング（LCAO）モデル
• ホッピング積分とバンド幅
• 非局在化および局在化描像の相補性

Key theories

ほぼ自由電子近似

格子ポテンシャルを平面波に対する小さな摂動として扱うと、バンドはゾーン境界付近を除いてほぼ放物線状になり、そこでは縮退した状態が混ざり合い、ポテンシャルの関連するフーリエ成分に比例するギャップが開きます。

タイトバインディングモデル

ホッピング積分によって結合された原子軌道からブロッホ状態を構築すると、その分散が格子幾何学を反映し、その幅が隣接する軌道間の重なりとともに増加するバンドが得られ、狭いd電子バンドやf電子バンドを捉えることができます。

Clinical relevance

これらのモデルは、実際のバンド構造に対する直感と計算の足がかりを提供します。ほぼ自由電子の描像は単純な金属のフェルミ面を説明し、タイトバインディングのパラメーター化は、グラフェンや強相関材料を含む現代の電子構造モデリングの多くを支えています。

History

タイトバインディングの原子軌道線形結合アプローチは、ブロッホの1929年の原論文から発展し、ほぼ自由電子の描像はゾンマーフェルトの自由電子モデルと並行して開発されました。スレーター、コスターらは、1930年代から1950年代にかけて、両者を実用的なバンド構造手法として体系化しました。

Key figures

• Felix Bloch
• John Clarke Slater
• Conyers Herring

Seminal works

• ashcroft1976
• kittel2005

Frequently asked questions

ほぼ自由電子モデルとタイトバインディングモデルは矛盾していますか？

いいえ、それらは同じバンド構造問題の対極にある限界です。ほぼ自由電子モデルは非局在化した平面波と弱いポテンシャルから始まり、タイトバインディングは局在化した軌道と弱いホッピングから始まります。実際の材料はその中間に位置し、しばしばどちらかの限界によって最もよく記述されます。

なぜ弱い周期ポテンシャルはゾーン境界でのみギャップを開くのですか？

ゾーン境界では、等しいエネルギーを持つ2つの自由電子状態が逆格子ベクトルによって結びつけられます。ポテンシャルはこれらの縮退した状態を異なるエネルギーの結合状態と反結合状態に混合させ、準位を分裂させてそこにギャップを開きます。