ブロッホの定理とエネルギーバンド

ブロッホの定理は、周期的な格子中の電子の波動関数が、格子周期関数に平面波を乗じたものであると述べており、これにより許容されるエネルギーがバンドに組織化されます。

Definition

ブロッホの定理は、周期的なポテンシャル中の電子のエネルギー固有状態が、格子と同じ周期性を持つ関数によって変調された平面波の形を持つと主張しています。固有値は、結晶運動量の関数として、禁制ギャップによって隔てられた連続的なエネルギーバンドを形成します。

Scope

このトピックでは、ブロッホの定理を証明し、解釈します。すなわち、周期的なポテンシャルが固有状態を結晶運動量とバンド指数によってラベル付けされたブロッホ波に強制すること、スペクトルがギャップによって隔てられたエネルギーバンドに分裂すること、およびバンドが拡張ゾーン、還元ゾーン、または繰り返しゾーンスキームで表示できることを扱います。結晶運動量の意味、ブロッホ電子の群速度、およびバンドあたりの状態数についても説明します。これは、モデル近似やフェルミ面に関するトピックが構築される基礎となります。

Core questions

• なぜ格子周期性が電子の波動関数をブロッホ形式に強制するのですか？
• 結晶運動量とは何ですか、そしてそれは通常の運動量とどう異なりますか？
• バンド指数と結晶運動量は、どのようにしてすべての電子状態をラベル付けするのですか？
• なぜバンド内の状態数が結晶中の単位胞の数と正確に同じなのですか？

Key concepts

• ブロッホ波動関数と格子周期部分
• 結晶運動量とバンド指数
• エネルギーバンドとバンドギャップ
• 拡張ゾーン、還元ゾーン、繰り返しゾーンスキーム
• ブロッホ電子の群速度

Key theories

ブロッホの定理

周期的なポテンシャル中の単一電子の場合、固有状態は平面波と周期関数の積であり、したがってそれぞれがブリルアンゾーン内の結晶運動量と離散的なバンド指数によってインデックス付けされ、バンド構造を持つスペクトルが得られます。

Clinical relevance

ブロッホの定理は固体物理学の基礎であり、電子が完全な結晶中を弾道的に移動する理由を説明し、導体と絶縁体を分類するために使用されるバンド構造を定義し、実質的にすべての電子構造計算の根底にあります。

History

フェリックス・ブロッホは、1928年の博士論文（1929年発表）で、ハイゼンベルクの指導のもと、この定理を証明しました。これにより、電子が密なイオン格子によって強く散乱されない理由が解明されました。この結果は、フロケの以前の周期微分方程式に関する一次元理論を一般化したものです。

Key figures

• Felix Bloch
• Gaston Floquet
• Rudolf Peierls

Seminal works

• bloch1929
• ashcroft1976

Frequently asked questions

結晶運動量は通常の運動量保存則に従いますか？

結晶運動量は、格子が量子化された量の運動量を吸収できるため、逆格子ベクトルまでしか保存されません。それはブロッホ状態をラベル付けし、選択則を支配しますが、電子の真の力学的運動量ではありません。

なぜブロッホの定理は連続体ではなくバンドを意味するのですか？

各結晶運動量に対して、周期的なシュレーディンガー方程式はバンド番号によってインデックス付けされた離散的な解の梯子を持ちます。運動量をゾーン全体で変化させると、各レベルが連続的なバンドに掃引され、その間に状態が存在しないエネルギー範囲、すなわちギャップが生じます。