整域

整域とは、単位元を持ち零因子を持たない可換環であり、おなじみの約分法則や因数分解の概念が成り立つ抽象的な設定である。

Definition

整域とは、乗法単位元を持つ可換環であり、任意の2つの非ゼロ元の積が非ゼロである、言い換えれば零因子を持たない環である。

Scope

このトピックでは、整域の定義と基本的な性質、分数体、体の階層、ユークリッド整域、主イデアル整域、一意分解整域、および既約元と素元の概念について扱う。

Core questions

• 零因子の不在は、約分と因数分解について何を保証するのか？
• 整域はどのようにその分数体に埋め込まれるのか？
• ユークリッド整域、主イデアル整域、一意分解整域はどのように関連しているのか？
• 既約元と素元の違いは何か？

Key theories

分数体

すべての整域は、その分数体と呼ばれる最小の体に埋め込まれる。分数体は、分数体の同値類から構成され、整数から有理数への移行を一般化するものである。

整域の階層

体、ユークリッド整域、主イデアル整域、一意分解整域は、整域における性質の厳密に降順の連鎖を形成し、因数分解の振る舞いの良さを整理する。

素元と既約元

任意の整域において、素元は既約元であり、この2つの概念は一意分解整域において正確に一致する。一意分解整域では、既約元への因数分解は本質的に一意である。

Clinical relevance

整域は、整数の算術と同様に振る舞う環であり、因数分解理論の自然な場である。数論における整数の環は整域であり、既約な代数多様体の座標環も整域であるため、この概念は幾何学と関連している。

History

この概念は、デデキントやクロネッカーによって研究された整数や代数的整数の環の算術を抽象化したものである。ユークリッド整域、主イデアル整域、一意分解整域の体系的な比較は、20世紀初頭の構造的環論とともに現れた。

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Emmy Noether

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• hungerford1974

Frequently asked questions

零因子を除外することがなぜ重要なのか？

零因子がなければ、約分法則が成り立つ。すなわち、積がゼロであれば、いずれかの因子がゼロでなければならない。これは、うまく機能する因数分解理論と、環を分数体に埋め込むためにまさに必要なことである。

素元と既約元は同じものか？

一般的にはそうではない。整域では素元は常に既約元であるが、既約元が素元であるとは限らない。この不一致が因数分解を非一意にする原因である。この2つは一意分解整域において正確に一致する。