数体と整数環

数体は有理数の有限次拡大であり、その整数環は通常の整数の自然な算術的アナロジーである。これはデデキント環であり、元ではなくイデアルが一意に分解する。

Definition

数体は有理数の有限次拡大体であり、その整数環は、整数係数を持つ単多項式の根である元から構成され、デデキント環を形成する。

Scope

このトピックでは、代数的数と代数的整数、数体とその次数および埋め込み、整数環が数体における整数の整閉包であること、整基底と数体の判別式、整数環のデデキント環としての特徴付け、および非零イデアルの素イデアルへの一意分解について扱う。

Core questions

• 数体のどの元が整数と見なされ、なぜそれらが環を形成するのか？
• 整基底とは何か、数体の判別式はどのように定義され計算されるのか？
• どのような性質が整数環をデデキント環にするのか？
• イデアルの一意分解は、元の分解の一意性をどのように置き換えるのか？

Key theories

整数環と整閉包

数体内の代数的整数は、その整数環を形成し、これは数体における整数の整閉包である。これは、体の次数に等しい階数を持つ自由加群であり、整基底を持つ。

デデキント環とイデアルの分解

整数環はネーター的で整閉であり、次元が1である。すなわち、デデキント環であり、任意のデデキント環では、すべての非零イデアルは素イデアルに一意に分解される。

判別式

整基底の判別式は、分岐する素数を検出し、ミンコフスキーの限界とエルミートの有限性定理を介して体を制約する、体の整数不変量である。

Clinical relevance

整数環とそのイデアル構造は、数体ふるい素因数分解アルゴリズムやイデアル格子暗号の舞台となっており、そこでは整数環の算術が困難な問題と効率的な演算の両方の源となっている。

History

クンマーは1840年代に円分整数とイデアル数について研究した。デデキントは、1870年代のディリクレの講義の補遺において、整数環とイデアルの現代的な概念を定義し、イデアルの一意分解を証明して抽象理論を確立した。

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

整数環は常に一意分解環ですか？

いいえ。元は一意に分解されるとは限りませんが、環は常にデデキント環であるため、イデアルは一意に分解されます。環がまさに一意分解環であるのは、その類数が1の場合に限られます。

判別式は何を示していますか？

数体の判別式は整数不変量であり、その素因子は数体で分岐する素数そのものであり、その大きさは数体の複雑さの上限を示します。