集合論的パラドックスと型理論

自身を含まない全ての集合の集合は、自身を含むと同時に含まない。ラッセルのパラドックスは素朴集合論を覆し、論理学の基礎を再構築した。

Definition

集合論的パラドックスとは、全ての条件が集合を定義するという無制限の内包原理から素朴集合論において導き出される矛盾である。型理論は、実体を型の階層に順序付け、集合が自身に属することを禁じることで、これらのパラドックスを阻止する。

Scope

このトピックでは、論理的および集合論的パラドックスと、それらが引き起こした基礎的な対応策について扱う。自身を要素としない全ての集合の集合に関するラッセルのパラドックス、最大の順序数に関するブラリ＝フォルティのパラドックス、そして普遍集合に関するカントールのパラドックスを取り上げる。また、悪循環原理によるラッセルの診断と、それによって『プリンキピア・マテマティカ』で提唱された分枝型理論、そしてパラドックスを回避するために内包原理を制限する公理的（ツェルメロ＝フレンケル）集合論という代替的な対応策についても論じる。

Core questions

• 素朴集合論のどのような仮定がラッセルのパラドックスを生み出すのか？
• パラドックスを回避するためには、悪循環原理と型制限が必要なのか？
• 型理論と公理的集合論は、対応策としてどのように異なるのか？
• 論理的パラドックスは意味論的パラドックスと根本的に同じなのか？

Key concepts

• 無制限の内包
• ラッセルのパラドックス
• ブラリ＝フォルティのパラドックスとカントールのパラドックス
• 悪循環原理
• 型理論
• 分離公理

Key theories

分枝型理論

ラッセルは、悪循環原理と型の階層によってパラドックスを阻止する。この階層では、実体は階層の下位にある実体に基づいてのみ定義され、自己帰属や自己適用的な定義を防ぐ。

制限された内包

公理的集合論（ツェルメロ＝フレンケル）は、無制限の内包を放棄し、分離公理と置換公理を採用する。これにより、自身を要素としない全ての集合の集合を形成することができなくなり、型階層なしにラッセルのパラドックスを解消する。

History

ラッセルは1901年、フレーゲの論理主義を研究中に自身のパラドックスを発見し、フレーゲの基本法則Vを揺るがした。ラッセルの1908年の型理論と1910年の『プリンキピア・マテマティカ』は一つの解決策を提示し、ツェルメロの1908年の公理化（後にフレンケルによって拡張された）は別の解決策を提示した。これら二つのアプローチは、現代の基礎論と論理学および計算機科学で用いられる単純型理論の基礎となっている。

Debates

型理論対公理的集合論

パラドックスを回避するには、悪循環原理に基づく型階層が最適なのか、それとも集合の存在公理を制限する方が良いのか、そしてそれぞれの方法が集合、クラス、そして述定的定義と非述定的定義の性質について何を意味するのか、という議論。

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

ラッセルのパラドックスを平易な言葉で説明すると？

自身を要素としない全ての集合Rを考えてみましょう。Rが自身の要素であるかどうかを問います。もしそうであれば、その定義によりそうであるべきではありません。もしそうでないならば、それは条件を満たし、そうであるべきです。どちらの答えも他方と矛盾しており、これは任意の性質が集合を定義するという素朴集合論の仮定が誤っていることを示しています。