公理的集合論 (ZFC)

選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZFC) は、現代数学の標準的な形式的基礎として機能する一階の公理系である。

Definition

ZFCは、メンバーシップのための単一の二項関係記号を持つ一階述語論理の理論であり、その公理（外延性、対、和集合、冪集合、無限、分離、置換、基礎、および選択）は集合の宇宙を記述し、そこから通常の数学が導出されうる。

Scope

このトピックでは、ZFCの個々の公理、それらが生成する集合の累積的階層、分離および置換の公理図式の役割、そして選択公理の特別な位置づけについて扱う。また、おなじみの数学的対象がこのシステム内でどのように集合として符号化されるかを説明する。

Core questions

• 各ZFC公理は何を主張し、なぜそれが必要なのか？
• 累積的階層は集合の宇宙をどのように組織化しているのか？
• なぜ選択公理は特別視され、それは何を意味するのか？
• ZFC内で数、関数、関係はどのように集合として構築されるのか？

Key theories

外延性公理と基礎の公理

外延性公理は、集合がその要素によって決定されることを述べ、基礎の公理は無限降下メンバーシップ連鎖を排除し、宇宙を整礎な累積的階層として構造化する。

分離と置換の公理図式

分離の公理図式は、ある性質によって定義される部分集合を形成し、置換の公理図式は、定義可能なクラス関数による集合の像が集合であることを許容する。これらは共に、古典的なパラドックスを再導入することなく大きな集合を構築するために必要な強度を提供する。

選択公理

選択公理は、空でない集合の任意の集まりが選択関数を持つことを主張する。これはツォルンの補題や整列可能定理と同値であり、数学の多くの分野で不可欠であるが、他の公理からは独立している。

Clinical relevance

ZFCは、ほとんどの数学者が推論する際に暗黙のうちに用いる枠組みである。それは、どのような対象が存在し、どのような構成が正当であるかを定めるため、その公理を理解することは、どの議論が基礎的に健全であり、どの議論が選択公理やその他の議論のある原理に依存しているかを明確にする。

History

ツェルメロは、整列可能定理の自身の証明を確実にするために1908年に最初の公理化を提案した。フレンケルとスコーレムは1920年代に置換図式を追加し、フォン・ノイマンは累積的階層と基礎を明確にし、現在ZFCと呼ばれるシステムを構築した。

Key figures

• Ernst Zermelo
• Abraham Fraenkel
• Thoralf Skolem
• John von Neumann

Seminal works

• kunen2011
• jech2003
• enderton1977

Frequently asked questions

なぜ素朴集合論を使わないのか？

任意の性質を満たすすべての集合を形成することを許容する素朴な内包原理は、ラッセルのパラドックスにつながる。ZFCは、無制限の内包原理を、パラドックスを回避しつつ数学にとって十分強力な制限された分離と置換の公理図式に置き換えている。

選択公理は必要か？

ベクトル空間の基底や解析学および代数学における多くの結果を含む主流の数学の多くは、これに依存している。他の公理からは独立しているため、矛盾なく仮定することも否定することも可能であるが、慣習的に採用されている。