ゲーデルの定理とその哲学

ゲーデルは、自己言及を算術に組み込むことで、算術に十分な豊かさを持ついかなる無矛盾な形式体系も、証明できない真の文を含むことを証明した。

Definition

ゲーデルの第一不完全性定理は、初等算術を表現できる、無矛盾で実効的に公理化された形式体系は、証明も反証もできない真の文を含むと述べている。第二定理は、そのような体系は自身の無矛盾性を証明できないと述べている。

Scope

このトピックは、ゲーデルの不完全性定理とその哲学的解釈を扱います。算術化（ゲーデル数化）の技法と、自己言及的な「私は証明できない」という文を構築する対角線補題、第一定理（そのような体系は不完全であること）、第二定理（それらは自身の無矛盾性を証明できないこと）、そして定理の論争の的となる哲学的利用 — 形式主義とヒルベルト計画の限界に関する主張、および人間の精神はいかなるアルゴリズムをも超えるというルーカス＝ペンローズの議論 — を扱います。

Core questions

• ゲーデル数化は、算術が自身の証明について語ることをどのように可能にするのか？
• 不完全性定理は正確には何を確立し、どの体系に対して適用されるのか？
• これらの定理はヒルベルト計画と論理主義にとって何を意味したのか？
• これらの定理は、心が機械を超えることを示しているのか？

Key concepts

• ゲーデル数化（算術化）
• 対角線補題
• ゲーデル文
• 第一および第二不完全性定理
• ヒルベルト計画
• 無矛盾性とω-無矛盾性

Key theories

対角線論法による不完全性

ゲーデルは構文を算術化し、それによってある式が自身の証明不可能性を表現できるようにした。結果として得られる文は真であるが（体系が無矛盾であれば）、証明不可能であり、不完全性を確立する。第二定理は、無矛盾性自体が体系内で証明不可能であることを示す。

ルーカス＝ペンローズの議論

ルーカスはゲーデルの定理から、人間は心をモデル化するいかなる無矛盾な機械のゲーデル文の真理を見抜くことができるため、心はそのような機械ではありえないと主張する。この議論は広く論争の的となっている。

History

ゲーデルは1931年に不完全性定理を証明し、有限的な手段によって数学の完全性と無矛盾性を証明しようとするヒルベルト計画に決定的な限界をもたらした。この結果は数学の哲学と心の哲学に大きな影響を与え、ルーカス（1961年）と後にペンローズが反機械論的な結論を導き出し、広範な批判的文献を生み出した。

Debates

これらの定理は心の機械論を否定するか？

ルーカス＝ペンローズの議論が、不完全性から人間の数学的洞察がいかなるアルゴリズムをも超越すると妥当に推論するのか、あるいは、我々が常に自身の無矛盾性を知り、関連するゲーデル文を認識できると仮定することで過度に主張しているのか、という点。

Key figures

• Kurt Godel
• David Hilbert
• J. R. Lucas
• Roger Penrose
• Peter Smith

Seminal works

• godel1931
• smith2013

Frequently asked questions

ゲーデルの定理は数学が破綻していることを意味するのか？

いいえ。それは、いかなる単一の無矛盾な形式体系もすべての算術的真理を証明できるわけではなく、また、自身の無矛盾性を内部から保証できるわけでもないことを意味します。数学は完全に機能しており、これらの定理はむしろ、いかなる固定された公理系が達成できることにも原理的な限界を設け、一つの完全で自己保証的な基礎を求める希望を否定するものです。