命題論理と一階述語論理

命題論理と一階述語論理は、古典論理の主要な形式体系であり、ほとんどの日常的な推論や数学的推論を形式化するのに十分な表現力を持っています。

Definition

命題論理は、真理関数結合子によって結合された文全体の間の推論を研究します。一階述語論理は、個体の領域にわたる量化子、述語、および関係によって命題論理を拡張しますが、量化は性質ではなく個体に限定されます。

Scope

このトピックでは、古典命題論理（真理関数結合子）と一階述語論理（量化子、変数、関係）の構文、意味論、および証明論について扱います。健全性、完全性、コンパクト性、レーヴェンハイム-スコレムの定理といった主要なメタ理論的結果、そして議論を形式化し、数学の基礎を築くための規範的枠組みとしての、一階述語論理の哲学的意義も含まれます。

Core questions

• 一階述語論理の表現力はどの程度であり、何が一階述語論理では表現できないのでしょうか？
• なぜ一階述語論理は、形式化のための特権的な論理としてしばしば見なされるのでしょうか？
• 完全性とコンパクト性は、構文と意味論の関係について何を教えてくれるのでしょうか？
• 二階述語論理に移行することの哲学的コストと利点は何でしょうか？

Key concepts

• 真理関数結合子
• 量化子と変数
• 充足とモデル
• 完全性とコンパクト性
• レーヴェンハイム-スコレムの定理
• 一階述語論理と二階述語論理

Key theories

一階述語論理の完全性

ゲーデルの完全性定理は、すべての一階述語論理の意味論的帰結が標準的な演繹体系で証明可能であることを確立しており、したがって、一階述語論理においては導出可能性とモデル理論的妥当性が一致します。

一階述語論理の正統性

クワインは、一階述語論理が完全であり、存在論的に明晰であり、集合論的なコミットメントや二階述語論理の不完全性がないという理由で、規範的な論理を一階述語論理に限定することを擁護しています。

History

フレーゲの1879年の『概念記法』は、量化子-変数記法と述語論理の最初の体系を導入しました。これはパースによって独立して予見されていました。メタ理論は、ゲーデルの完全性定理（1929年）とコンパクト性およびレーヴェンハイム-スコレムの結果によって20世紀初頭に確立され、その後、クワインらが一階述語論理を規範的な論理的枠組みとして推進しました。

Debates

一階述語論理は適切な規範的論理であるか？

論理は、その完全性と存在論的明晰さを考慮して一階述語論理に限定されるべきか、それとも完全性の喪失とより重い数学的コミットメントを伴うものの、より大きな表現力のために二階述語論理に拡張されるべきかという議論。

Key figures

• Gottlob Frege
• Kurt Godel
• W. V. O. Quine
• Charles Sanders Peirce
• Herbert Enderton

Seminal works

• frege1879
• quine1986

Frequently asked questions

一階述語論理と二階述語論理の違いは何ですか？

一階述語論理は、領域内の個々の対象のみを量化します。二階述語論理は、それらの対象の性質、関係、関数も量化できます。二階述語論理ははるかに表現力が高いですが、完全な証明体系を欠き、より強い数学的コミットメントを伴うため、多くの哲学者は一階述語論理を規範的であると見なしています。