様相システムとその公理

異なる様相公理は必然性の異なる概念を符号化しており、それぞれが到達可能性関係における構造的条件に対応している。

Definition

正規様相システムとは、古典論理の規則と分配公理K、必然化規則の下で閉じられた定理の集合であり、到達可能性関係の特性に対応する特徴的な公理を追加することで、より強力なシステムが得られる。

Scope

このトピックでは、基底システムKにT（反射性）、4（推移性）、B（対称性）、5（ユークリッド性）などの公理を追加することで構築される、正規様相システムの標準的な階層を扱う。これにより、T、S4、S5のようなシステムが生成される。様相公理とフレーム条件との間の体系的な対応関係を示す対応理論、健全性、完全性、そして形而上学的、論理的、または認識論的必然性を最もよく捉えるシステムはどれかという問題について論じる。

Core questions

• 与えられた種類の必然性をどの公理が支配すべきか？
• 様相公理は到達可能性関係の条件にどのように対応するか？
• S5は形而上学的必然性の正しい論理なのか、それともより弱いシステムが適切なのか？
• 健全性と完全性の結果はこれらのシステムに対して何を確立するか？

Key concepts

• システムKと必然化
• 公理T、4、B、5
• 反射的、推移的、対称的、ユークリッド的フレーム
• 対応理論
• S4とS5
• 正準モデルによる完全性

Key theories

対応理論

各特徴的様相公理は到達可能性関係の特性に対応する — Tは反射性、4は推移性、Bは対称性、5はユークリッド性 — そのため、システムはこれらの条件を満たすフレームのクラスに関して健全かつ完全である。

厳密含意とルイスのシステム

C. I. ルイスは、厳密含意を形式化し、実質含意のパラドックスを回避するためにS1-S5システムを導入し、様相の現代的な公理的研究の基礎を築いた。

History

ルイスとラングフォードによる1932年の『記号論理学』は、S1-S5システムを公理的に導入した。クリプキの関係意味論の後、対応理論は公理とフレーム条件との間の体系的な関連性を明らかにし、ヒューズとクレスウェルなどの教科書に体系化された正準モデル構成を通じて完全性が確立された。

Debates

どのシステムが形而上学的必然性を捉えているか？

形而上学的必然性の論理が、可能なものは偶然的ではないと主張する強力なS5であるべきか、それとも可能性の空間自体が世界間で変化することを許容するより弱いシステムであるべきかという議論。

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

S4とS5の違いは何ですか？

S4は、必然であるものは必然的に必然であるという公理（推移的な到達可能性）を追加します。S5はさらに、可能であるものは必然的に可能であるという公理（到達可能性関係が同値関係になる）を追加します。S5では、任意の文の様相状態自体が非偶然的であり、多くの人がこれを形而上学的必然性に適合すると考えています。