Ruang Probabilitas dan Kejadian

Ruang probabilitas adalah rangkap tiga yang terdiri dari ruang sampel hasil, sigma-aljabar kejadian, dan ukuran probabilitas yang menetapkan setiap kejadian sebuah angka antara nol dan satu, dan ini adalah panggung tempat semua teori probabilitas diatur.

Definition

Ruang probabilitas adalah rangkap tiga yang terdiri dari ruang sampel, sigma-aljabar dari himpunan bagian terukur yang disebut kejadian, dan ukuran probabilitas aditif terhitung dengan massa total satu yang menetapkan setiap kejadian probabilitasnya.

Scope

Topik ini mencakup ruang sampel dan sigma-aljabar kejadian, aksioma yang harus dipenuhi oleh ukuran probabilitas, kontinuitas probabilitas sepanjang urutan kejadian yang meningkat dan menurun, konstruksi ukuran dari fungsi himpunan melalui ekstensi Caratheodory, dan konstruksi standar seperti ukuran Lebesgue pada interval satuan sebagai ruang probabilitas kanonik.

Core questions

• Apa perbedaan antara hasil dan kejadian, dan mengapa kejadian harus membentuk sigma-aljabar?
• Sifat-sifat apa yang mendefinisikan ukuran probabilitas, dan bagaimana sifat-sifat tersebut menghasilkan kontinuitas dari bawah dan dari atas?
• Bagaimana ukuran probabilitas dibangun dari deskripsi probabilitas pada himpunan sederhana?
• Ruang probabilitas kanonik apa yang mendasari model-model yang dikenal seperti bilangan acak seragam pada interval satuan?

Key concepts

• ruang sampel dan hasil
• sigma-aljabar kejadian
• aditivitas terhitung
• kontinuitas probabilitas
• kejadian nol dan sifat-sifat hampir pasti

Key theories

Aksioma ukuran probabilitas

Ukuran probabilitas adalah non-negatif, menetapkan seluruh ruang sampel probabilitas satu, dan aditif terhitung atas kejadian-kejadian yang saling lepas; aksioma-aksioma ini menyiratkan monotonisitas, rumus inklusi-eksklusi, dan kontinuitas sepanjang urutan kejadian yang monoton.

Teorema ekstensi Caratheodory

Fungsi himpunan aditif terhitung yang didefinisikan pada suatu aljabar meluas secara unik ke ukuran pada sigma-aljabar yang dihasilkan, yang memungkinkan ukuran probabilitas ditentukan pada kejadian-kejadian sederhana dan kemudian diperluas ke semua kejadian terukur.

Clinical relevance

Formalisme ruang probabilitas inilah yang membuat pernyataan tentang fenomena acak menjadi tidak ambigu; setiap model probabilistik terapan, mulai dari sistem antrean hingga inferensi statistik dan pemodelan risiko, secara implisit merupakan pernyataan tentang ruang probabilitas dan kejadian yang didefinisikan di dalamnya.

History

Meskipun probabilitas informal telah dihitung selama berabad-abad, gagasan ruang probabilitas yang tepat berasal dari aksiomatisasi Kolmogorov tahun 1933, yang meminjam mekanisme ekstensi Caratheodory dari teori ukuran untuk memberikan kejadian dan probabilitasnya dasar yang ketat.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Constantin Caratheodory
• Emile Borel

Seminal works

• kolmogorov1933

Frequently asked questions

Mengapa tidak menetapkan probabilitas untuk setiap himpunan bagian dari ruang sampel?

Untuk ruang sampel yang tak terhitung, tidak ada probabilitas aditif terhitung yang konsisten yang dapat didefinisikan pada semua himpunan bagian, sehingga probabilitas dibatasi pada sigma-aljabar kejadian terukur, yang masih mengandung setiap kejadian yang relevan secara praktis.

Apa arti 'hampir pasti'?

Suatu kejadian berlaku hampir pasti jika komplemennya memiliki probabilitas nol; kejadian nol semacam itu dapat diabaikan untuk tujuan menghitung probabilitas dan ekspektasi meskipun secara harfiah tidak mustahil.