Sigma-Aljabar dan Ukuran

Sigma-aljabar menentukan himpunan mana yang dapat diukur, dan suatu ukuran menetapkan ukuran yang konsisten untuk masing-masing himpunan tersebut; bersama-sama keduanya membentuk ruang terukur tempat seluruh teori integrasi dibangun.

Definition

Sigma-aljabar adalah kumpulan himpunan bagian yang tertutup terhadap komplemen dan gabungan terhitung, dan suatu ukuran adalah fungsi himpunan non-negatif yang aditif terhitung pada sigma-aljabar; pasangan ini membentuk ruang ukuran yang menggeneralisasi panjang, luas, volume, dan probabilitas.

Scope

Topik ini mencakup sigma-aljabar dan sigma-aljabar Borel yang dihasilkan oleh himpunan terbuka, fungsi terukur, aksioma suatu ukuran dengan aditivitas terhitung, ukuran luar dan konstruksi Caratheodory, pembangunan ukuran Lebesgue, kelengkapan dan himpunan nol, serta kontinuitas ukuran sepanjang barisan monoton.

Core questions

• Kumpulan himpunan mana yang dapat mendukung gagasan ukuran yang konsisten?
• Bagaimana ukuran Lebesgue pada ruang Euklides dibangun dari ukuran luar?
• Apa kontribusi aditivitas terhitung yang tidak dapat diberikan oleh aditivitas hingga?
• Mengapa suatu ukuran tidak dapat didefinisikan pada setiap himpunan bagian secara mutlak?

Key theories

Teorema ekstensi Caratheodory

Ukuran luar membatasi diri pada ukuran aditif terhitung yang sejati pada sigma-aljabar himpunan terukurnya, konstruksi yang menghasilkan ukuran Lebesgue dan ukuran pada ruang abstrak dari fungsi himpunan yang lebih sederhana.

Keberadaan himpunan yang tidak terukur

Dengan asumsi aksioma pilihan, terdapat himpunan bagian dari garis bilangan riil yang tidak dapat diberikan ukuran oleh ukuran aditif terhitung yang invarian-translasi, itulah sebabnya sigma-aljabar, bukan semua himpunan bagian, diperlukan.

Clinical relevance

Ruang ukuran adalah fondasi formal teori probabilitas, di mana sigma-aljabar mengkodekan peristiwa yang dapat diamati dan ukuran adalah distribusi probabilitas; kerangka kerja yang sama mendukung integrasi, perlakuan ketat terhadap keacakan dalam statistika dan keuangan, serta definisi ruang fungsi dalam analisis.

History

Borel memperkenalkan sigma-aljabar himpunan yang dibangun dari interval sekitar tahun 1898, dan Lebesgue mendefinisikan ukuran pada garis pada tahun 1902. Metode ukuran luar Caratheodory menggeneralisasi konstruksi ke ruang abstrak, dan contoh Vitali tahun 1905 menunjukkan himpunan yang tidak terukur.

Key figures

• Constantin Caratheodory
• Emile Borel
• Henri Lebesgue

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Mengapa tidak mengukur setiap himpunan bagian dari garis saja?

Dengan menggunakan aksioma pilihan, seseorang dapat membangun himpunan, seperti himpunan Vitali, yang tidak dapat diberikan ukuran yang konsisten dengan invarian-translasi dan aditivitas terhitung, sehingga pengukuran dibatasi pada sigma-aljabar.

Apa peran aditivitas terhitung?

Aditivitas terhitung, yaitu bahwa ukuran gabungan terhitung yang saling lepas adalah jumlah dari ukuran-ukurannya, adalah yang memungkinkan ukuran berinteraksi dengan baik dengan limit dan memungkinkan teorema konvergensi integrasi.