Variabel Acak dan Fungsi Distribusi

Variabel acak adalah pemetaan terukur dari ruang probabilitas ke garis bilangan riil, dan fungsi distribusinya, yaitu probabilitas bahwa variabel tersebut tidak melebihi tingkat tertentu, adalah cara universal untuk menggambarkan bagaimana nilai-nilainya tersebar.

Definition

Variabel acak adalah fungsi terukur dari ruang probabilitas ke bilangan riil, dan fungsi distribusinya memetakan setiap bilangan riil ke probabilitas bahwa variabel tersebut mengambil nilai yang kurang dari atau sama dengan bilangan tersebut.

Scope

Topik ini mencakup keterukuran variabel acak bernilai riil dan vektor, fungsi distribusi kumulatif dan sifat-sifat penentunya yaitu monotonisitas, kekontinuan kanan, dan limit, korespondensi antara fungsi distribusi dan ukuran probabilitas pada garis, densitas dan dekomposisi Lebesgue menjadi bagian diskrit, kontinu mutlak, dan singular, serta distribusi gabungan vektor acak dengan marginalnya.

Core questions

• Apa artinya suatu fungsi pada ruang sampel menjadi variabel acak?
• Sifat-sifat apa yang mencirikan fungsi distribusi kumulatif, dan bagaimana fungsi tersebut menentukan distribusi?
• Kapan suatu distribusi memiliki densitas, dan apa alternatifnya?
• Bagaimana hubungan antara distribusi gabungan dan marginal dari beberapa variabel acak?

Key concepts

• fungsi terukur
• fungsi distribusi kumulatif
• densitas probabilitas
• dekomposisi Lebesgue
• distribusi gabungan dan marginal

Key theories

Korespondensi fungsi distribusi

Setiap ukuran probabilitas pada garis bilangan riil berkorespondensi dengan fungsi distribusi non-menurun, kontinu kanan yang unik dengan limit nol dan satu, dan sebaliknya, memberikan deskripsi lengkap dan konkret tentang distribusi satu dimensi.

Dekomposisi Lebesgue dari suatu distribusi

Setiap distribusi pada garis terbagi secara unik menjadi bagian diskrit yang didukung pada atom, bagian kontinu mutlak dengan densitas, dan bagian kontinu singular, menjelaskan kapan densitas probabilitas ada dan kapan tidak.

Clinical relevance

Fungsi distribusi adalah apa yang diestimasi oleh data empiris dan apa yang diajukan oleh model statistik; fungsi distribusi empiris mendasari pengujian goodness-of-fit dan bootstrap, kuantil yang berasal dari fungsi distribusi mendefinisikan nilai-risiko (value-at-risk) dan rentang referensi, dan densitas adalah objek yang paling sering disesuaikan dalam inferensi berbasis kemungkinan.

History

Pengakuan bahwa variabel acak hanyalah fungsi terukur dan perilakunya ditangkap oleh fungsi distribusi muncul dengan reformulasi teori ukuran probabilitas pada awal abad kedua puluh, menggantikan perlakuan kasus per kasus sebelumnya untuk distribusi tertentu.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Apakah setiap variabel acak memiliki densitas?

Tidak; hanya variabel acak yang distribusinya kontinu mutlak yang memiliki densitas. Variabel diskrit menempatkan massa pada titik-titik individual, dan distribusi kontinu singular yang lebih jarang tidak memiliki densitas meskipun tidak memiliki atom.

Mengapa fungsi distribusi didefinisikan dengan kurang dari atau sama dengan daripada kurang dari secara ketat?

Konvensi kurang dari atau sama dengan membuat fungsi distribusi kontinu kanan, yang merupakan pilihan alami yang menempatkannya dalam korespondensi yang jelas dengan ukuran probabilitas yang mendasari dan atom-atomnya.