टेंसर गुणनफल
दो मॉड्यूलों का टेंसर गुणनफल द्विरैखिक मानचित्रों का सार्वभौमिक प्राप्तकर्ता है, जो द्विरैखिक निर्माणों को रैखिक में परिवर्तित करता है और वलयों के बीच अदिशों के परिवर्तन को सक्षम बनाता है।
Definition
एक क्रमविनिमेय वलय पर दो मॉड्यूलों का टेंसर गुणनफल एक मॉड्यूल है जिसके साथ इसमें एक द्विरैखिक मानचित्र होता है जो सार्वभौमिक होता है: मॉड्यूलों के युग्म से बाहर निकलने वाला प्रत्येक द्विरैखिक मानचित्र एक रैखिक मानचित्र के रूप में इसके माध्यम से विशिष्ट रूप से गुणनखंडित होता है।
Scope
यह विषय मॉड्यूलों के टेंसर गुणनफल के निर्माण और सार्वभौमिक गुण, जनरेटर और संबंधों पर इसके व्यवहार, आधार परिवर्तन और अदिशों के विस्तार, सदिश स्थानों और बीजगणितों के टेंसर गुणनफल, और टेंसर फ़ंक्टर की दक्षिण-यथार्थता को शामिल करता है।
Core questions
- द्विरैखिक मानचित्रों को रैखिक मानचित्रों में कैसे बदला जा सकता है?
- कौन सा सार्वभौमिक गुण टेंसर गुणनफल को परिभाषित करता है?
- टेंसर गुणनफल वलयों के बीच अदिशों के परिवर्तन को कैसे लागू करता है?
- टेंसर गुणनफल प्रत्यक्ष योगों और सटीक अनुक्रमों के साथ कैसे इंटरैक्ट करता है?
Key theories
- टेंसर गुणनफल का सार्वभौमिक गुण
- टेंसर गुणनफल अद्वितीय मॉड्यूल है जिसके माध्यम से मॉड्यूलों के एक युग्म से प्रत्येक द्विरैखिक मानचित्र एक रैखिक मानचित्र के रूप में गुणनखंडित होता है, जो इसे समरूपता तक चित्रित करता है और इसके सभी गुणों को नियंत्रित करता है।
- अदिशों का विस्तार
- एक वलय समरूपता के साथ एक बड़े वलय के साथ एक मॉड्यूल को टेंसर करना इसके अदिशों का विस्तार करता है, एक वलय पर एक मॉड्यूल को दूसरे पर एक मॉड्यूल में बदल देता है, बीजगणित और ज्यामिति में आधार परिवर्तन का मूल तंत्र।
- टेंसर फ़ंक्टर की दक्षिण-यथार्थता
- टेंसरिंग कोकर्नेल और सर्जेक्शन को संरक्षित करता है लेकिन सामान्यतः इंजेक्शन को नहीं, इसलिए यह दक्षिण-यथार्थ है; वाम-यथार्थता की विफलता को व्युत्पन्न फ़ंक्टर टॉर द्वारा मापा जाता है, जो समरूप बीजगणित की स्थापना करता है।
Clinical relevance
टेंसर गुणनफल सर्वव्यापी हैं: वे बहुरैखिक बीजगणित और बाह्य तथा सममित बीजगणित का निर्माण करते हैं, संयुक्त क्वांटम प्रणालियों को अवस्था स्थानों के टेंसर गुणनफल के रूप में मॉडल करते हैं, बीजगणितीय ज्यामिति में आधार परिवर्तन को लागू करते हैं, और विभेदक ज्यामिति और मशीन लर्निंग के टेंसरों को रेखांकित करते हैं।
History
टेंसर रिक्की और लेवी-सिविटा के विभेदक ज्यामिति पर काम में और ग्रासमैन के बाह्य बीजगणित में उत्पन्न हुए, जबकि मॉड्यूल-सैद्धांतिक टेंसर गुणनफल और इसके सार्वभौमिक गुण को बीसवीं सदी के मध्य में अमूर्त किया गया क्योंकि समरूप बीजगणित विकसित हुआ, जो कार्टन, आइलेनबर्ग और मैक लेन के काम के माध्यम से एक मानक उपकरण बन गया।
Key figures
- Hermann Grassmann
- Élie Cartan
- Emmy Noether
- Saunders Mac Lane
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Frequently asked questions
- टेंसर गुणनफल किस समस्या का समाधान करता है?
- यह एक एकल मॉड्यूल प्रदान करता है जिसके माध्यम से सभी द्विरैखिक मानचित्र रैखिक रूप से गुणनखंडित होते हैं, ताकि द्विरैखिक प्रश्न रैखिक प्रश्न बन जाएं। यह सार्वभौमिक गुण, कोई स्पष्ट सूत्र नहीं, वह है जो इस निर्माण को उपयोगी और सुव्यवस्थित बनाता है।
- टेंसर गुणनफल केवल दक्षिण-यथार्थ क्यों है?
- टेंसरिंग सर्जेक्शन और कोकर्नेल को संरक्षित करता है लेकिन इंजेक्शन को नष्ट कर सकता है, क्योंकि तत्वों के बीच संबंध ढह सकते हैं। सटीक विफलता को टॉर फ़ंक्टरों द्वारा पकड़ा जाता है, यही कारण है कि टेंसर गुणनफल का अध्ययन समरूप बीजगणित के साथ किया जाता है।