मॉड्यूल
एक मॉड्यूल एक सदिश-स्थान-जैसी संरचना है जिसके अदिश एक क्षेत्र के बजाय एक वलय से आते हैं, जो मॉड्यूल सिद्धांत का केंद्रीय उद्देश्य है जो एबेलियन समूहों, सदिश स्थानों और निरूपणों को एकीकृत करता है।
Definition
एक वलय R पर एक मॉड्यूल एक एबेलियन समूह है जो R के तत्वों द्वारा अदिश गुणन से सुसज्जित है जो वितरणात्मक और साहचर्य है और पहचान का सम्मान करता है, जो सदिश स्थानों को वलय गुणांकों तक सामान्यीकृत करता है।
Scope
यह विषय एक वलय पर एक मॉड्यूल की परिभाषा, उपमॉड्यूल और भागफल मॉड्यूल, मॉड्यूल समरूपता, जनरेटर और संबंध, चक्रीय और परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल, और समरूपता प्रमेय, साथ ही एबेलियन समूहों और सदिश स्थानों के मॉड्यूल के रूप में मूल उदाहरणों को शामिल करता है।
Core questions
- एक मॉड्यूल एक सदिश स्थान और एक एबेलियन समूह को कैसे सामान्यीकृत करता है?
- उपमॉड्यूल, भागफल मॉड्यूल और मॉड्यूल समरूपता क्या हैं?
- एक मॉड्यूल को जनरेटर और संबंधों द्वारा कैसे प्रस्तुत किया जाता है?
- मॉड्यूल आधार बनाने में विफल क्यों हो सकते हैं?
Key theories
- मॉड्यूल परिचित संरचनाओं को एकीकृत करते हैं
- एक क्षेत्र पर एक मॉड्यूल एक सदिश स्थान है और पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल एक एबेलियन समूह है, इसलिए मॉड्यूल सिद्धांत इन्हें और समूह-वलय निरूपणों को एक ही ढांचे के भीतर मानता है।
- मॉड्यूल के लिए समरूपता प्रमेय
- मॉड्यूल समरूपता उनके कर्नेल द्वारा भागफलों के माध्यम से कारक होते हैं, और पत्राचार और समरूपता प्रमेय समूहों और वलयों से आगे बढ़ते हैं, उपमॉड्यूल और भागफलों की संरचना को व्यवस्थित करते हैं।
- जनरेटर और संबंध
- प्रत्येक मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल का एक भागफल है, इसलिए इसे जनरेटर और संबंधों द्वारा प्रस्तुत किया जाता है; संबंधों का गायब न होना ही सामान्य मॉड्यूल को सदिश स्थानों से अलग करता है।
Clinical relevance
मॉड्यूल कई बीजगणितीय संरचनाओं के लिए सामान्य भाषा हैं: आदर्श और भागफल वलय, एबेलियन समूह, समूहों और बीजगणित के निरूपण, और टोपोलॉजी के समरूपता और सह-समरूपता समूह सभी मॉड्यूल हैं, इसलिए मॉड्यूल सिद्धांत ऐसे उपकरण प्रदान करता है जो पूरे गणित में लागू होते हैं।
History
मॉड्यूल की अवधारणा ने डेडेकाइंड के बीजगणितीय संख्याओं के मॉड्यूल और उन्नीसवीं सदी के अंकगणित के एबेलियन समूहों को सामान्यीकृत किया, और एमी नोएथर ने 1920 के दशक में इसे बीजगणित के केंद्र में रखा, यह पहचान कर कि आदर्श, भागफल और निरूपण सभी उपयुक्त वलयों पर मॉड्यूल हैं।
Key figures
- Emmy Noether
- Richard Dedekind
- Wolfgang Krull
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Frequently asked questions
- एक मॉड्यूल अदिश के वलय वाले सदिश स्थान जैसा क्यों होता है?
- अभिगृहीत एक सदिश स्थान के समान ही हैं, सिवाय इसके कि अदिश एक क्षेत्र के बजाय एक वलय से आते हैं। क्योंकि वलय के तत्व व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं, मॉड्यूल में मरोड़ और संबंध हो सकते हैं जो कोई सदिश स्थान प्रदर्शित नहीं करता है।
- कौन सी परिचित वस्तुएँ मॉड्यूल हैं?
- एबेलियन समूह पूर्णांकों पर मॉड्यूल हैं, सदिश स्थान क्षेत्रों पर मॉड्यूल हैं, और एक वलय के आदर्श उस वलय पर मॉड्यूल हैं। यही कारण है कि मॉड्यूल का एक ही सिद्धांत एक साथ इतनी सारी बीजगणितीय सेटिंग्स को संबोधित कर सकता है।