रैखिक रूपांतरण

एक रैखिक रूपांतरण सदिश समष्टियों (vector spaces) के बीच एक ऐसा प्रतिचित्रण (map) है जो योग और अदिश गुणन (scalar multiplication) को संरक्षित रखता है, जो रैखिक बीजगणित (linear algebra) का एक आकारिकी (morphism) है जिसे आधारों (bases) के चयन के बाद एक आव्यूह (matrix) द्वारा दर्शाया जाता है।

Definition

समान क्षेत्र (field) पर सदिश समष्टियों के बीच एक रैखिक रूपांतरण एक ऐसा फलन (function) है जो सदिश योग और अदिश गुणन का सम्मान करता है, ताकि एक रैखिक संयोजन (linear combination) का प्रतिबिंब, प्रतिबिंबों का संगत रैखिक संयोजन हो।

Scope

यह विषय रैखिक प्रतिचित्रण (linear maps) और उनके कर्नेल (kernels) और प्रतिबिंबों (images), रैंक-शून्यता प्रमेय (rank-nullity theorem), आधारों के सापेक्ष एक रैखिक प्रतिचित्रण का आव्यूह, आधार का परिवर्तन (change of basis), संयोजन (composition) और व्युत्क्रमणीयता (invertibility), और अमूर्त रैखिक प्रतिचित्रणों तथा आव्यूहों के बीच पत्राचार को शामिल करता है।

Core questions

• एक प्रतिचित्रण के रैखिक होने का क्या अर्थ है?
• कर्नेल और प्रतिबिंब अंतःक्षेपकता (injectivity) और आच्छादकता (surjectivity) को कैसे मापते हैं?
• एक रैखिक रूपांतरण को एक आव्यूह द्वारा कैसे दर्शाया जाता है, और वह आव्यूह आधार के साथ कैसे बदलता है?
• एक रैखिक रूपांतरण कब व्युत्क्रमणीय होता है?

Key theories

रैंक-शून्यता प्रमेय

परिमित-विमीय समष्टियों (finite-dimensional spaces) के बीच एक रैखिक प्रतिचित्रण के लिए, डोमेन (domain) का आयाम प्रतिबिंब के आयाम और कर्नेल के आयाम के योग के बराबर होता है, जो अंतःक्षेपकता, आच्छादकता और रैखिक प्रणालियों की हल करने की क्षमता को एक साथ जोड़ता है।

आव्यूह प्रतिनिधित्व और आधार का परिवर्तन

आधारों का चयन एक रैखिक प्रतिचित्रण को एक आव्यूह द्वारा दर्शाता है, संयोजन आव्यूह गुणन के अनुरूप होता है, और आधारों को बदलने से आव्यूह संयुग्मित होता है, इसलिए समान आव्यूह विभिन्न निर्देशांकों में एक ही ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं।

आव्यूहों के साथ समरूपता

परिमित-विमीय समष्टियों के बीच रैखिक प्रतिचित्रणों की समष्टि आव्यूहों की समष्टि के समरूपी (isomorphic) होती है, जिससे अमूर्त और ठोस दृष्टिकोण विनिमेय हो जाते हैं और रैखिक बीजगणित आव्यूह गणना तक सीमित हो जाता है।

Clinical relevance

रैखिक रूपांतरण ज्यामिति और ग्राफिक्स में घूर्णन (rotations), प्रक्षेप (projections) और स्केलिंग (scalings) को मॉडल करते हैं, क्वांटम यांत्रिकी में अवलोकनीय (observables) और समय विकास (time evolution) को, और तंत्रिका नेटवर्क (neural networks) के भीतर रैखिक प्रतिचित्रणों की परतों को मॉडल करते हैं। रैंक-शून्यता प्रमेय अनुप्रयोगों में आने वाली प्रत्येक रैखिक प्रणाली की हल करने की क्षमता को नियंत्रित करता है।

History

केली (Cayley) और सिल्वेस्टर (Sylvester) के आव्यूह कलन (matrix calculus) ने उन्नीसवीं सदी के मध्य में रैखिक प्रतिचित्रणों को एक ठोस प्रतिनिधित्व दिया, जबकि ग्रासमैन (Grassmann) और पियानो (Peano) ने सदिश समष्टियों के बीच रैखिक प्रतिचित्रणों का अमूर्त, निर्देशांक-मुक्त दृष्टिकोण प्रदान किया जो आधुनिक सिद्धांत का आधार है।

Key figures

• Arthur Cayley
• James Joseph Sylvester
• Hermann Grassmann
• Giuseppe Peano

Seminal works

• hoffman1971
• roman2008
• lang2002

Frequently asked questions

एक ही रैखिक प्रतिचित्रण को विभिन्न आव्यूहों द्वारा क्यों दर्शाया जाता है?

एक आव्यूह डोमेन और कोडोमेन (codomain) के लिए आधारों के चयन पर निर्भर करता है। आधारों को बदलने से आव्यूह संयुग्मित होता है, इसलिए एक एकल रैखिक ऑपरेटर आव्यूहों के एक पूरे समानता वर्ग (similarity class) के अनुरूप होता है, यही कारण है कि विहित रूप (canonical forms) उपयोगी होते हैं।

रैंक-शून्यता प्रमेय आपको क्या बताता है?

यह कहता है कि कर्नेल और प्रतिबिंब के आयाम डोमेन के आयाम तक जुड़ते हैं। यह तुरंत तय करता है कि एक रैखिक प्रणाली के समाधान कब होते हैं और उसके समाधान सेट का आकार कितना बड़ा होता है, और एक प्रतिचित्रण कब अंतःक्षेपक या आच्छादक होता है।