मुक्त मॉड्यूल
एक मुक्त मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल है जो एक आधार को स्वीकार करता है, मॉड्यूल सिद्धांत में एक सदिश समष्टि का सबसे निकटतम अनुरूप और सार्वभौमिक निर्माण खंड जिससे सभी मॉड्यूल भागफल होते हैं।
Definition
एक वलय पर एक मुक्त मॉड्यूल एक मॉड्यूल है जो वलय की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूपी है, समान रूप से एक मॉड्यूल जिसमें एक आधार होता है, एक रैखिक रूप से स्वतंत्र जनरेटिंग सेट।
Scope
यह विषय एक मुक्त मॉड्यूल की परिभाषा, उसके सार्वभौमिक गुण, क्रमविनिमेय वलयों के लिए रैंक और अपरिवर्तनीय आयाम गुण, मुक्त मॉड्यूल के भागफल के रूप में मनमाने मॉड्यूल की प्रस्तुति, और प्रक्षेप्य मॉड्यूल की संबंधित धारणा को शामिल करता है।
Core questions
- एक मॉड्यूल के लिए आधार होने का क्या अर्थ है?
- कौन सा सार्वभौमिक गुण मुक्त मॉड्यूल को दर्शाता है?
- क्या एक मुक्त मॉड्यूल का रैंक अच्छी तरह से परिभाषित है?
- प्रत्येक मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल के भागफल के रूप में कैसे उत्पन्न होता है?
Key theories
- मुक्त मॉड्यूल का सार्वभौमिक गुण
- एक सेट पर एक मुक्त मॉड्यूल उस सेट से एक मानचित्र प्राप्त करने वाले मॉड्यूल के बीच सार्वभौमिक है: आधार से एक मॉड्यूल तक कोई भी फ़ंक्शन विशिष्ट रूप से एक मॉड्यूल समरूपता तक फैलता है, जिससे मुक्त मॉड्यूल मॉड्यूल सिद्धांत की मुक्त वस्तुएं बन जाते हैं।
- रैंक की अपरिवर्तनीयता
- पहचान के साथ एक क्रमविनिमेय वलय पर, एक मुक्त मॉड्यूल के किसी भी दो आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है, इसलिए रैंक एक अच्छी तरह से परिभाषित अपरिवर्तनीय है, जो सदिश समष्टियों के लिए आयाम की अपरिवर्तनीयता को सामान्यीकृत करता है।
- मुक्त प्रस्तुतियाँ
- प्रत्येक मॉड्यूल संबंधों के एक उप-मॉड्यूल द्वारा एक मुक्त मॉड्यूल का एक भागफल है, जो जनरेटर और संबंधों द्वारा एक प्रस्तुति देता है; जब संबंध मॉड्यूल भी मुक्त होता है तो यह एक मुक्त समाधान होता है, जो समरूप बीजगणित की शुरुआत है।
Clinical relevance
मुक्त मॉड्यूल कम्प्यूटेशनल और समरूप बीजगणित के मुख्य आधार हैं: मुक्त मॉड्यूल द्वारा प्रस्तुतियाँ और समाधान Tor और Ext जैसे अपरिवर्तनीयों की गणना करते हैं, और प्रमुख-आदर्श डोमेन पर मुक्त और मरोड़ उप-मॉड्यूल के बीच परस्पर क्रिया विहित रूपों और एबेलियन समूहों के वर्गीकरण के पीछे संरचना प्रमेय उत्पन्न करती है।
History
एक मॉड्यूल के लिए आधार की धारणा ने सदिश समष्टियों के आधारों और उन्नीसवीं सदी के अंकगणित के मुक्त एबेलियन समूहों को सामान्यीकृत किया। मुक्त मॉड्यूल और उनके समाधान बीसवीं सदी के मध्य में समरूप बीजगणित के उदय के साथ केंद्रीय हो गए, जहाँ वे मापते हैं कि मॉड्यूल मुक्त होने से कितना विचलित होते हैं।
Key figures
- Emmy Noether
- Heinrich Brandt
- Wolfgang Krull
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Seminal works
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- atiyah1969
Frequently asked questions
- क्या प्रत्येक मॉड्यूल मुक्त है?
- नहीं। एक क्षेत्र पर प्रत्येक मॉड्यूल मुक्त होता है, लेकिन एक सामान्य वलय पर अधिकांश मॉड्यूल नहीं होते हैं; उदाहरण के लिए, पूर्णांकों के ऊपर एक मॉड्यूल के रूप में पूर्णांकों के मापांक n का कोई आधार नहीं होता है। मुक्त मॉड्यूल ठीक वही होते हैं जो एक आधार को स्वीकार करते हैं।
- प्रक्षेप्य मॉड्यूल मुक्त मॉड्यूल से कैसे संबंधित हैं?
- प्रक्षेप्य मॉड्यूल ठीक मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योगफल होते हैं, जो थोड़ा बड़ा वर्ग है। कुछ वलयों पर, जैसे कि प्रमुख-आदर्श डोमेन, परिमित रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य और मुक्त मॉड्यूल मेल खाते हैं, लेकिन सामान्य तौर पर वे भिन्न होते हैं।