शीफ और कोहोमोलोजी

एक शीफ स्थानीय रूप से परिभाषित और सुसंगत रूप से जुड़े डेटा को रिकॉर्ड करता है, और शीफ कोहोमोलोजी स्थानीय समाधानों से वैश्विक समाधान तक जाने में आने वाली बाधा को मापती है।

Definition

एक स्पेस पर एक शीफ प्रत्येक खुले सेट को प्रतिबंध (restriction) और ग्लूइंग (gluing) के तहत संगत खंडों (sections) का एक सेट (या समूह, वलय, या मॉड्यूल) निर्दिष्ट करता है; शीफ कोहोमोलोजी वैश्विक खंडों को लेने के व्युत्पन्न फ़ंक्शन का अनुक्रम है, जो स्थानीय खंडों के विश्व स्तर पर जुड़ने में विफलता को निर्धारित करता है।

Scope

यह विषय एक टोपोलॉजिकल स्पेस या स्कीम पर प्रीशीफ और शीफ, स्टॉक्स, शीफिकेशन, और शीफ के मॉर्फिज्म का परिचय देता है, जिसमें संरचना शीफ, आइडियल शीफ, और सुसंगत (coherent) और अर्ध-सुसंगत (quasi-coherent) शीफ के केंद्रीय उदाहरण शामिल हैं। यह वैश्विक-खंड (global-sections) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन (derived functors) और चेक कोहोमोलोजी (Čech cohomology) के कम्प्यूटेशनल उपकरण, प्रक्षेप्य स्थान (projective space) पर सुसंगत शीफ की कोहोमोलोजी, और सेरे के परिमितता (finiteness) और लुप्त होने (vanishing) के प्रमेय और सेरे द्वैत (Serre duality) जैसे मूलभूत परिणामों के माध्यम से शीफ कोहोमोलोजी को विकसित करता है।

Core questions

• ग्लूइंग स्वयंसिद्ध (gluing axioms) एक शीफ को स्थानीय-से-वैश्विक डेटा के लिए सही उपकरण कैसे बनाते हैं?
• सुसंगत और अर्ध-सुसंगत शीफ एक स्कीम पर ज्यामिति के बारे में क्या जानकारी देते हैं?
• शीफ कोहोमोलोजी को व्युत्पन्न फ़ंक्शन के रूप में क्यों परिभाषित किया गया है, और चेक कोहोमोलोजी इसे कैसे गणना करती है?
• सेरे के परिमितता, लुप्त होने और द्वैत प्रमेय सुसंगत कोहोमोलोजी के बारे में हमें क्या बताते हैं?

Key concepts

• प्रीशीफ, शीफ, स्टॉक्स, और शीफिकेशन
• सुसंगत और अर्ध-सुसंगत शीफ
• व्युत्पन्न फ़ंक्शन के रूप में शीफ कोहोमोलोजी
• चेक कोहोमोलोजी और व्युत्पन्न कोहोमोलोजी के साथ इसका समझौता
• सेरे परिमितता, लुप्त होना, और सेरे द्वैत

Clinical relevance

शीफ कोहोमोलोजी बीजगणितीय ज्यामिति का केंद्रीय कम्प्यूटेशनल इंजन है, जो लाइन बंडलों के खंडों, विकृतियों (deformations) और बाधा सिद्धांत (obstruction theory) को नियंत्रित करता है; वही मशीनरी एटेल कोहोमोलोजी (étale cohomology) का आधार है जिसका उपयोग वेइल अनुमानों (Weil conjectures) को सिद्ध करने के लिए किया गया था और यह टोपोलॉजी और जटिल ज्यामिति में व्यापक है।

History

लेरे ने 1940 के दशक में शीफ और उनकी कोहोमोलोजी की शुरुआत की; सेरे के एफएसी (1955) ने सुसंगत शीफ कोहोमोलोजी को बीजगणितीय ज्यामिति में लाया, और ग्रोथेंडिक ने अपने तोहोकू पेपर (1957) में कोहोमोलोजी को व्युत्पन्न फ़ंक्शन के रूप में फिर से परिभाषित किया, जो आधुनिक उपचारों में अपनाया गया ढांचा है।

Key figures

• Jean Leray
• Jean-Pierre Serre
• Alexander Grothendieck

Seminal works

• hartshorne1977
• maclane1971

Frequently asked questions

प्रीशीफ और शीफ में क्या अंतर है?

एक प्रीशीफ खुले सेटों को प्रतिबंध मानचित्रों के साथ डेटा निर्दिष्ट करता है; एक शीफ को अतिरिक्त रूप से यह भी आवश्यक है कि ओवरलैप पर सहमत होने वाले स्थानीय खंड एक अद्वितीय वैश्विक खंड से जुड़ें, जो ज्यामिति के लिए आवश्यक स्थानीयता है।

शीफ कोहोमोलोजी ज्यामितीय रूप से क्यों मायने रखती है?

इसके आयाम वैश्विक खंडों, बाधाओं और जीनस जैसे अपरिवर्तनीयों की गणना करते हैं; उच्च कोहोमोलोजी का लुप्त होना ही वह है जो स्थानीय ज्यामितीय डेटा — उदाहरण के लिए, एक लाइन बंडल के खंडों — को विश्व स्तर पर इकट्ठा करने की अनुमति देता है।