टोपोस सिद्धांत
एक टोपोस एक श्रेणी है जो समुच्चयों की श्रेणी की तरह व्यवहार करती है और एक आंतरिक तर्क का समर्थन करती है, जो समुच्चय सिद्धांत और शीफ के सिद्धांत दोनों को सामान्यीकृत करती है और गणित की श्रेणीबद्ध नींव के लिए एक सेटिंग प्रदान करती है।
Definition
एक प्राथमिक टोपोस परिमित सीमाओं, घातीय वस्तुओं और एक उपवस्तु क्लासिफायरियर वाली एक श्रेणी है; इसमें उच्च-क्रम अंतर्ज्ञानवादी तर्क की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त संरचना होती है, इसलिए यह अपने स्वयं के आंतरिक गणित के साथ समुच्चयों के एक सामान्यीकृत ब्रह्मांड के रूप में कार्य करता है।
Scope
यह विषय परिमित सीमाओं, घातांकों और एक उपवस्तु क्लासिफायरियर द्वारा परिभाषित प्राथमिक टोपोस, एक साइट पर शीफ की श्रेणियों के रूप में ग्रोथेंडिक टोपोस, एक टोपोस के आंतरिक उच्च-क्रम अंतर्ज्ञानवादी तर्क, और संरचनात्मक और वैकल्पिक नींव देने में और ज्यामिति को तर्क से जोड़ने में टोपोस की भूमिका को शामिल करता है।
Core questions
- कौन सी श्रेणीबद्ध संरचना एक श्रेणी को समुच्चयों की श्रेणी की तरह व्यवहार कराती है?
- एक टोपोस एक आंतरिक तर्क कैसे वहन करता है, और यह अंतर्ज्ञानवादी क्यों है?
- ग्रोथेंडिक टोपोस शीफ को कैसे सामान्यीकृत करते हैं और ज्यामिति को कैसे एन्कोड करते हैं?
- किस अर्थ में एक टोपोस गणित के लिए एक नींव के रूप में कार्य कर सकता है?
Key theories
- उपवस्तु क्लासिफायरियर और आंतरिक तर्क
- एक उपवस्तु क्लासिफायरियर एक सत्य-मान वस्तु में मानचित्रों द्वारा उपवस्तुओं का प्रतिनिधित्व करता है, जिससे प्रत्येक टोपोस को एक आंतरिक उच्च-क्रम तर्क मिलता है जो सामान्यतः शास्त्रीय के बजाय अंतर्ज्ञानवादी होता है।
- ग्रोथेंडिक टोपोस
- एक साइट पर शीफ की श्रेणियां ग्रोथेंडिक टोपोस बनाती हैं, जो टोपोलॉजिकल स्थानों को सामान्यीकृत करती हैं और श्रेणीबद्ध ढांचा प्रदान करती हैं जिसे ग्रोथेंडिक ने बीजगणितीय ज्यामिति में कोहोलॉजी के लिए विकसित किया था।
- नींव के रूप में टोपोस
- एक सु-बिंदु वाला टोपोस जो एक चयन सिद्धांत को संतुष्ट करता है, एक संरचनात्मक समुच्चय सिद्धांत को मॉडल करता है, इसलिए टोपोस सिद्धांत गणित की सदस्यता-आधारित नींव के लिए एक श्रेणीबद्ध विकल्प प्रदान करता है।
Clinical relevance
टोपोस सिद्धांत ज्यामिति और तर्क को एकीकृत करता है: ग्रोथेंडिक टोपोस आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति और कोहोलॉजी को रेखांकित करते हैं, टोपोस का आंतरिक अंतर्ज्ञानवादी तर्क रचनात्मक गणित को मॉडल करता है और प्रकार सिद्धांत के लिए शब्दार्थ प्रदान करता है, और प्राथमिक टोपोस गणित की नींव का एक संरचनात्मक विवरण देते हैं।
History
ग्रोथेंडिक और उनके सहयोगियों ने 1960 के दशक में योजनाओं की कोहोलॉजी का समर्थन करने के लिए शीफ की श्रेणियों के रूप में टोपोस की शुरुआत की। लॉवियर और टियरनी ने फिर 1970 के दशक की शुरुआत में प्राथमिक, विशुद्ध रूप से श्रेणीबद्ध स्वयंसिद्धीकरण दिया, एक टोपोस के आंतरिक तर्क को प्रकट किया और टोपोस सिद्धांत को ज्यामिति, तर्क और गणित की नींव के बीच एक सेतु के रूप में स्थापित किया।
Key figures
- Alexander Grothendieck
- F. William Lawvere
- Myles Tierney
- Peter Johnstone
Related topics
Seminal works
- maclanemoerdijk1994
- johnstone2002
- awodey2010
Frequently asked questions
- एक टोपोस का आंतरिक तर्क अंतर्ज्ञानवादी क्यों होता है?
- उपवस्तु क्लासिफायरियर को बहिष्कृत मध्य के नियम को संतुष्ट करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि एक सामान्य टोपोस में सत्य मानों का जालक एक बूलियन के बजाय एक हेयटिंग बीजगणित होता है। परिणामस्वरूप आंतरिक रूप से मान्य तर्क अंतर्ज्ञानवादी होता है, जिसमें शास्त्रीय तर्क केवल विशेष टोपोस में ही प्राप्त होता है।
- एक टोपोस समुच्चयों की श्रेणी को कैसे सामान्यीकृत करता है?
- समुच्चयों की श्रेणी सबसे सरल टोपोस है, और एक सामान्य टोपोस इसकी प्रमुख संरचनात्मक विशेषताओं, परिमित सीमाओं, फ़ंक्शन स्थानों और उपसमुच्चयों के एक क्लासिफायरियर को बरकरार रखता है, जबकि एक स्थान या एक तार्किक सिद्धांत पर भिन्नता की अनुमति देता है। यह किसी को शीफ जैसे संदर्भों में समुच्चय-जैसा गणित करने देता है जहां सत्य स्थानीय होता है।