कोहोमोलोजी

कोहोमोलोजी होमोलोजी को द्वैत करती है ताकि एक स्थान पर कोचेन असाइन किए जा सकें, और महत्वपूर्ण रूप से एक रिंग संरचना — कप उत्पाद — को वहन करती है जो केवल होमोलोजी द्वारा अलग नहीं किए जा सकने वाले स्थानों को अलग करती है।

Definition

कोहोमोलोजी एक स्थान को एबेलियन समूहों के एक अनुक्रम के रूप में असाइन करती है जो विलक्षण चेन कॉम्प्लेक्स के दोहरे कोचेन कॉम्प्लेक्स में सीमाओं के मापांक के रूप में प्राप्त होते हैं; कप उत्पाद के साथ यह एक ग्रेडेड-कम्यूटेटिव रिंग बनाता है जो होमोलोजी की तुलना में एक बेहतर अपरिवर्तनीय है।

Scope

यह विषय कोहोमोलोजी को दोहरी कोचेन कॉम्प्लेक्स की होमोलोजी के रूप में विकसित करता है, जो सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय द्वारा होमोलोजी से संबंधित है, और कप उत्पाद द्वारा दी गई गुणात्मक संरचना को जोड़ता है जो कुल कोहोमोलोजी को एक ग्रेडेड रिंग बनाता है। इसमें चिकने मैनिफोल्ड्स पर डी राम कोहोमोलोजी और डी राम के प्रमेय के माध्यम से विलक्षण कोहोमोलोजी के साथ इसकी पहचान, कप और कैप उत्पाद, और पोइनकेयर द्वैत शामिल हैं जो एक उन्मुख बंद मैनिफोल्ड की कोहोमोलोजी को उसकी होमोलोजी से संबंधित करता है। कुनेथ प्रमेय और विशेषता-वर्ग अनुप्रयोग भी इसमें शामिल हैं।

Core questions

• सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय के माध्यम से कोहोमोलोजी होमोलोजी से कैसे संबंधित है?
• कप-उत्पाद रिंग संरचना अंतर्निहित समूहों से परे कौन सी अतिरिक्त जानकारी एन्कोड करती है?
• पोइनकेयर द्वैत एक उन्मुख बंद मैनिफोल्ड की कोहोमोलोजी और होमोलोजी को कैसे जोड़ता है?
• डी राम का प्रमेय चिकनी विभेदक-रूप कोहोमोलोजी को टोपोलॉजिकल कोहोमोलोजी के साथ क्यों पहचानता है?

Key concepts

• कोचेन कॉम्प्लेक्स और सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय
• कप उत्पाद और कोहोमोलोजी रिंग
• कैप उत्पाद और पोइनकेयर द्वैत
• डी राम कोहोमोलोजी और डी राम का प्रमेय
• उत्पादों के लिए कुनेथ प्रमेय

Clinical relevance

कोहोमोलोजी रिंग विशेषता वर्गों, बाधा सिद्धांत और प्रतिच्छेदन उत्पादों का प्राकृतिक घर है, जो कोहोमोलोजी को विभेदक ज्यामिति, फाइबर बंडलों की टोपोलॉजी और गणितीय भौतिकी में गेज सिद्धांत के लिए केंद्रीय बनाता है।

History

कोहोमोलोजी 1930 के दशक में डी राम, चेक, अलेक्जेंडर और कोलमोगोरोव के काम से उभरी; व्हिटनी और अन्य द्वारा प्रस्तुत कप उत्पाद ने गुणात्मक संरचना का खुलासा किया जो होमोलोजी के लिए अदृश्य थी, और डी राम के प्रमेय ने चिकनी और टोपोलॉजिकल सिद्धांतों को एक साथ जोड़ा, जिससे कोहोमोलोजी की केंद्रीय भूमिका तय हुई।

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

यदि होमोलोजी पहले से ही छेदों का पता लगाती है तो कोहोमोलोजी का उपयोग क्यों करें?

कोहोमोलोजी में कप उत्पाद के माध्यम से एक रिंग संरचना होती है जिसकी होमोलोजी में कमी होती है; समान होमोलोजी समूह वाले स्थानों में अलग-अलग कोहोमोलोजी रिंग हो सकते हैं, इसलिए कोहोमोलोजी एक सख्ती से बेहतर अपरिवर्तनीय है।

पोइनकेयर द्वैत क्या कहता है?

एक उन्मुख बंद n-मैनिफोल्ड के लिए, k-वीं कोहोमोलोजी (n-k)-वीं होमोलोजी के लिए समरूपी है; ज्यामितीय रूप से, यह प्रतिच्छेदन के माध्यम से पूरक-आयामी चक्रों के साथ चक्रों को जोड़ता है।