एफ़ाइन और प्रक्षेप्य वैराइटीज़

वैराइटीज़ बहुपद समीकरणों के ज्यामितीय हल समुच्चय हैं, जिनका अध्ययन एफ़ाइन स्पेस में और, अनंत पर बिंदु जोड़कर, प्रक्षेप्य स्पेस की अधिक एकसमान सेटिंग में किया जाता है।

Definition

एक एफ़ाइन वैराइटी बहुपदों के संग्रह का एफ़ाइन स्पेस में सामान्य शून्य समुच्चय है; एक प्रक्षेप्य वैराइटी प्रक्षेप्य स्पेस में समरूप बहुपदों का अनुरूप शून्य समुच्चय है, जहाँ ज्यामिति सघन होती है और प्रतिच्छेदन सिद्धांत सुव्यवस्थित होता है।

Scope

यह विषय बहुपदों के शून्य लोकस (zero loci) के रूप में एफ़ाइन वैराइटीज़, ज़ारिस्की टोपोलॉजी, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज़ (Hilbert's Nullstellensatz) द्वारा प्रदान की गई वैराइटीज़ और रेडिकल आइडियल्स के बीच पत्राचार को विकसित करता है। यह कोऑर्डिनेट रिंग और फ़ंक्शन फ़ील्ड, रेगुलर और रैशनल मैप्स, और प्रक्षेप्य स्पेस और प्रक्षेप्य वैराइटीज़ में संक्रमण का परिचय देता है जहाँ बेज़ाउट का प्रमेय (Bézout's theorem) और अनंत पर असाधारण व्यवहार की अनुपस्थिति मान्य होती है। आयाम, इरेड्यूसिबिलिटी (irreducibility), और सिंगुलर बनाम स्मूथ पॉइंट्स को मूल ज्यामितीय अपरिवर्तनीय के रूप में माना जाता है।

Core questions

• नलस्टेलेंसैट्ज़ वैराइटीज़ और आइडियल्स के बीच पत्राचार को कैसे सटीक बनाता है?
• प्रक्षेप्य स्पेस वैराइटीज़ के लिए प्राकृतिक घर क्यों है, और अनंत पर बिंदु जोड़ने से क्या ठीक होता है?
• किसी वैराइटी की कोऑर्डिनेट रिंग और फ़ंक्शन फ़ील्ड उसकी बीजगणितीय छायाएँ कैसे हैं?
• स्मूथ पॉइंट्स को सिंगुलर पॉइंट्स से क्या अलग करता है, और आयाम को बीजगणितीय रूप से कैसे परिभाषित किया जाता है?

Key concepts

• एफ़ाइन वैराइटीज़ और ज़ारिस्की टोपोलॉजी
• हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ और आइडियल-वैराइटी पत्राचार
• कोऑर्डिनेट रिंग, फ़ंक्शन फ़ील्ड, और रैशनल मैप्स
• प्रक्षेप्य स्पेस और प्रक्षेप्य वैराइटीज़
• आयाम, इरेड्यूसिबिलिटी, और स्मूथ बनाम सिंगुलर पॉइंट्स

Clinical relevance

वैराइटीज़ बीजगणितीय ज्यामिति और उसके अनुप्रयोगों में अध्ययन की जाने वाली मूल वस्तुएँ हैं, क्रिप्टोग्राफी और संख्या सिद्धांत में दीर्घवृत्तीय वक्रों से लेकर कंप्यूटर विज़न में उपयोग किए जाने वाले प्रक्षेप्य मॉडल और बीजगणितीय सांख्यिकी में विश्लेषण किए गए हल समुच्चयों तक।

History

बहुपद समीकरणों द्वारा वक्रों और सतहों का अध्ययन 19वीं शताब्दी का है; हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ (1893) और ज़ारिस्की द्वारा 1930 और 1940 के दशक में कठोर टोपोलॉजिकल और बीजगणितीय उपकरणों का परिचय वैराइटी को एक सटीक वस्तु के रूप में स्थापित किया, जो आधुनिक विषय का प्रारंभिक बिंदु है।

Key figures

• David Hilbert
• Oscar Zariski
• Robin Hartshorne

Seminal works

• hartshorne1977
• eisenbud1995

Frequently asked questions

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ क्या कहता है?

एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड पर, यह एफ़ाइन वैराइटीज़ और बहुपद रिंग के रेडिकल आइडियल्स के बीच एक बाइजेक्शन स्थापित करता है, जिससे ज्यामितीय समावेशन और प्रतिच्छेदन आइडियल्स पर बीजगणितीय संक्रियाओं के ठीक अनुरूप होते हैं।

एफ़ाइन स्पेस के बजाय प्रक्षेप्य स्पेस में काम क्यों करें?

प्रक्षेप्य स्पेस अनंत पर बिंदु जोड़कर एफ़ाइन स्पेस को सघन बनाता है, जो वैराइटीज़ को सघन बनाता है, विशेष मामलों (समानांतर रेखाएँ मिलती हैं) को हटाता है, और बेज़ाउट के प्रमेय जैसे स्वच्छ प्रतिच्छेदन परिणाम देता है।