परटर्बेशन सिद्धांत और सन्निकटन विधियाँ

अधिकांश क्वांटम समस्याओं को ठीक से हल नहीं किया जा सकता है, इसलिए सन्निकटन विधियाँ आवश्यक हैं; परटर्बेशन सिद्धांत एक प्रणाली को एक हल करने योग्य प्रणाली और एक छोटे सुधार के रूप में मानता है, जबकि वेरिएशनल और WKB विधियाँ अन्य व्यवस्थाओं में ऊर्जाओं और तरंगफलनों को सीमित या अनुमानित करती हैं।

Definition

क्वांटम यांत्रिकी में सन्निकटन विधियाँ ऊर्जाओं, अवस्थाओं और संक्रमण दरों का अनुमान लगाने के लिए व्यवस्थित तकनीकें हैं जब श्रोडिंगर समीकरण को ठीक से हल नहीं किया जा सकता है, जिनमें मुख्य रूप से परटर्बेशन सिद्धांत, वेरिएशनल विधि और अर्ध-शास्त्रीय WKB सन्निकटन शामिल हैं।

Scope

यह क्षेत्र ऊर्जा और अवस्था सुधारों के लिए समय-स्वतंत्र परटर्बेशन सिद्धांत को शामिल करता है जिसमें डिजेनरेट मामले, समय-निर्भर परटर्बेशन सिद्धांत और संक्रमण दरों के लिए फर्मी का गोल्डन नियम, वेरिएशनल सिद्धांत जो ग्राउंड-स्टेट ऊर्जाओं को ऊपर से सीमित करता है, और धीरे-धीरे बदलते विभवों और टनलिंग के लिए WKB अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन शामिल हैं।

Sub-topics

• समय-निर्भर विक्षोभ सिद्धांत
• समय-स्वतंत्र विक्षोभ सिद्धांत
• क्वांटम यांत्रिकी में परिवर्तनशील विधि
• WKB सन्निकटन

Core questions

• जब एक छोटा परटर्बेशन जोड़ा जाता है तो ऊर्जा स्तर और अवस्थाएँ कैसे ठीक की जाती हैं?
• समय-निर्भर प्रभाव के तहत अवस्थाओं के बीच संक्रमण दरों की गणना कैसे की जाती है?
• समीकरण को ठीक से हल किए बिना ग्राउंड-स्टेट ऊर्जा को कैसे सीमित किया जा सकता है?
• एक अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन कब सटीक परिणाम देता है?

Key concepts

• परटर्बेशन विस्तार
• डिजेनरेट परटर्बेशन सिद्धांत
• फर्मी का गोल्डन नियम
• वेरिएशनल सिद्धांत
• ट्रायल तरंगफलन
• WKB सन्निकटन

Key theories

परटर्बेशन सिद्धांत

एक छोटे परटर्बेशन की शक्तियों में ऊर्जाओं और अवस्थाओं का विस्तार करने से क्रमवार सुधार मिलते हैं, जिसमें अग्रणी ऊर्जा बदलाव परटर्बेशन की अपेक्षा के बराबर होता है, और इसका समय-निर्भर रूप अवस्थाओं के बीच संक्रमण दरों के लिए फर्मी का गोल्डन नियम देता है।

वेरिएशनल और WKB विधियाँ

वेरिएशनल सिद्धांत यह गारंटी देता है कि किसी भी ट्रायल अवस्था में हैमिल्टोनियन की अपेक्षा ग्राउंड-स्टेट ऊर्जा पर एक ऊपरी सीमा है, जबकि WKB सन्निकटन धीरे-धीरे बदलती स्थानीय तरंगदैर्ध्य से तरंगफलन बनाता है, जो तब सटीक होता है जब विभव एक तरंगदैर्ध्य पर थोड़ा बदलता है।

Clinical relevance

ये विधियाँ क्वांटम यांत्रिकी को वास्तविक प्रणालियों पर लागू करने योग्य बनाती हैं: परटर्बेशन सिद्धांत स्टार्क और ज़ीमैन स्प्लिटिंग और परमाणु संक्रमण दरों की भविष्यवाणी करता है, वेरिएशनल विधि क्वांटम रसायन विज्ञान में सटीक ग्राउंड-स्टेट ऊर्जाएँ देती है, और WKB परमाणु, नाभिकीय और ठोस-अवस्था भौतिकी में टनलिंग दरों और क्वांटिज़ेशन स्थितियों की व्याख्या करता है।

History

रेले और श्रोडिंगर ने 1920 के दशक में समय-स्वतंत्र परटर्बेशन सिद्धांत विकसित किया; डिराक ने समय-निर्भर परटर्बेशन सिद्धांत तैयार किया और फर्मी ने संक्रमण दरों के लिए गोल्डन नियम को लोकप्रिय बनाया, जबकि WKB विधि को 1926 में वेंटज़ेल, क्रामर्स और ब्रिलौइन द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तुत किया गया था।

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• Enrico Fermi
• Lord Rayleigh

Seminal works

• sakurai2017
• landau1977

Frequently asked questions

परटर्बेशन सिद्धांत कब विफल होता है?

यह तब टूट जाता है जब परटर्बेशन ऊर्जा अंतराल की तुलना में छोटा नहीं होता है, जब स्तर लगभग डिजेनरेट होते हैं जिससे हर बढ़ जाते हैं, या जब श्रृंखला अभिसरण नहीं करती है; ऐसे मामलों में इसके बजाय वेरिएशनल, अर्ध-शास्त्रीय, या संख्यात्मक विधियों की आवश्यकता होती है।

वेरिएशनल विधि हमेशा ग्राउंड-स्टेट ऊर्जा का अधिक अनुमान क्यों लगाती है?

कोई भी ट्रायल अवस्था वास्तविक आइगेनस्टेट्स का मिश्रण होती है, और क्योंकि सभी उत्तेजित-अवस्था ऊर्जाएँ ग्राउंड-स्टेट से ऊपर होती हैं, हैमिल्टोनियन की अपेक्षा एक भारित औसत होती है जो कभी भी सबसे कम आइगेनवैल्यू से नीचे नहीं गिर सकती।