मोंटे कार्लो समाकलन
मोंटे कार्लो समाकलन एक निश्चित समाकलन का अनुमान यादृच्छिक प्रतिदर्श बिंदुओं पर समाकल्य के औसत के रूप में लगाता है, जिससे समाकलन को एक प्रत्याशा के अनुमान के रूप में पुनः परिभाषित किया जाता है।
Definition
मोंटे कार्लो समाकलन एक समाकलन का अनुमान है जिसे प्रतिचयन वितरण के तहत एक फलन की प्रत्याशा के रूप में लिखकर और उस प्रत्याशा का अनुमान वितरण से प्राप्त प्रतिदर्शों के माध्य द्वारा लगाकर किया जाता है।
Scope
यह विषय एक समाकलन को एक प्रत्याशा के रूप में प्रस्तुत करने, सादे (क्रूड) मोंटे कार्लो अनुमानक और इसकी निष्पक्षता, रूट-एन अभिसरण दर और इसकी आयाम-स्वतंत्रता, प्रतिदर्श मानक विचलन के माध्यम से त्रुटि अनुमान, और नियतात्मक चतुर्भुज के साथ तुलना को शामिल करता है। विचरण-कमी के शोधन को अन्यत्र शामिल किए गए विस्तारों के रूप में माना जाता है।
Core questions
- एक मनमाने समाकलन को प्रतिचयन के लिए उपयुक्त प्रत्याशा के रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है?
- क्रूड मोंटे कार्लो अनुमानक निष्पक्ष और सुसंगत क्यों है?
- रूट-एन त्रुटि दर को क्या नियंत्रित करता है, और यह आयाम से स्वतंत्र क्यों है?
- मोंटे कार्लो समाकलन नियतात्मक चतुर्भुज से बेहतर प्रदर्शन कब करता है?
Key concepts
- क्रूड मोंटे कार्लो अनुमानक
- निष्पक्षता
- मानक त्रुटि
- आयाम-स्वतंत्रता
- प्रतिचयन घनत्व
Key theories
- प्रत्याशा के रूप में समाकलन
- एक समाकलन को प्रतिचयन घनत्व से विभाजित समाकल्य की प्रत्याशा के रूप में लिखने से समाकलन एक माध्य का अनुमान लगाने में बदल जाता है, जिसका प्रतिदर्श औसत बिना किसी पूर्वाग्रह के अनुमान लगाता है।
- अभिसरण दर और त्रुटि अनुमान
- केंद्रीय सीमा प्रमेय प्रतिदर्श आकार के वर्गमूल के एक के व्युत्क्रमानुपाती एक मानक त्रुटि देता है, जो समाकलन के आयाम से स्वतंत्र है, और योगों का अनुभवजन्य मानक विचलन एक उपयोगी त्रुटि अनुमान प्रदान करता है।
Clinical relevance
मोंटे कार्लो समाकलन सामान्यीकरण स्थिरांक, पश्च प्रत्याशाएं, सीमांत संभाव्यताएं और उच्च-आयामी प्रत्याशाएं संगणित करता है जो सांख्यिकी और भौतिक विज्ञानों में उत्पन्न होते हैं; इसकी आयाम-स्वतंत्र त्रुटि दर इसे पसंदीदा विधि बनाती है जहाँ ग्रिड-आधारित चतुर्भुज अव्यवहार्य हो जाता है।
History
प्रतिचयन द्वारा समाकलनों का अनुमान लगाने का विचार 1940 के दशक के लॉस अलामोस संगणनाओं और मेट्रोपोलिस और उलम के 1949 के पेपर से मिलता है; यह कंप्यूटिंग शक्ति बढ़ने के साथ और सांख्यिकीविदों द्वारा उच्च आयामों में चतुर्भुज पर इसके लाभ को पहचानने के बाद एक नियमित अभ्यास बन गया।
Key figures
- Stanislaw Ulam
- Nicholas Metropolis
- Christian P. Robert
Related topics
Seminal works
- robert2004
- metropolis1949
Frequently asked questions
- मोंटे कार्लो समाकलन कितना सटीक है?
- इसकी त्रुटि प्रतिदर्शों की संख्या के वर्गमूल के एक के व्युत्क्रमानुपाती घटती है, इसलिए प्रतिदर्श आकार को चौगुना करने से त्रुटि आधी हो जाती है। अनुमानक समाकल्य मानों के प्रतिदर्श मानक विचलन से एक अंतर्निहित त्रुटि अनुमान के साथ भी आता है।
- मुझे मानक चतुर्भुज की तुलना में मोंटे कार्लो को कब प्राथमिकता देनी चाहिए?
- कम-आयामी चिकने समाकलनों के लिए नियतात्मक चतुर्भुज आमतौर पर तेजी से अभिसरण करता है। मोंटे कार्लो उच्च आयामों में जीतता है, जहाँ एक ग्रिड की लागत तेजी से बढ़ती है लेकिन मोंटे कार्लो त्रुटि दर समान रहती है।