भौतिकी में मेट्रोपोलिस मोंटे कार्लो
मेट्रोपोलिस एल्गोरिथम सांख्यिकीय-भौतिकी सिमुलेशन का मुख्य आधार है: प्रस्तावित चालों को उनकी ऊर्जा लागत के आधार पर स्वीकार या अस्वीकार करके, यह एक मार्कोव श्रृंखला बनाता है जो सही बोल्ट्ज़मैन संभाव्यता के साथ विन्यासों का नमूना लेती है।
Definition
मेट्रोपोलिस एल्गोरिथम एक मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो विधि है जो विन्यासों का एक क्रम उत्पन्न करती है जिसकी सीमित वितरण विहित समुच्चय (canonical ensemble) है, जिसमें स्थानीय परिवर्तनों का प्रस्ताव करके और ऊर्जा परिवर्तन के बोल्ट्ज़मैन कारक द्वारा निर्धारित संभाव्यता के साथ उन्हें स्वीकार करके ऐसा किया जाता है।
Scope
यह विषय भौतिक प्रणालियों पर लागू मेट्रोपोलिस और मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम को शामिल करता है: स्वीकृति नियम, विस्तृत संतुलन और एर्गोडिसिटी (ergodicity), संतुलन और ऑटोकोरिलेशन (autocorrelation), और थर्मल औसत और उनकी सांख्यिकीय त्रुटियों का अनुमान। यह व्यापक मोंटे कार्लो क्षेत्र के अंतर्गत मूलभूत नमूनाकरण विधि है।
Core questions
- प्रस्तावित चाल के ऊर्जा परिवर्तन पर स्वीकृति संभाव्यता कैसे निर्भर करती है?
- विस्तृत संतुलन सही स्थिर वितरण की गारंटी क्यों देता है?
- संतुलन और ऑटोकोरिलेशन समय का निदान और हिसाब कैसे किया जाता है?
- सहसंबद्ध नमूनों से मोंटे कार्लो औसत की सांख्यिकीय त्रुटि का अनुमान कैसे लगाया जाता है?
Key theories
- विस्तृत संतुलन और स्थिरता
- बोल्ट्ज़मैन वितरण के संबंध में विस्तृत संतुलन को संतुष्ट करने वाली स्वीकृति संभावनाओं का चयन यह सुनिश्चित करता है कि वह वितरण मार्कोव श्रृंखला के तहत स्थिर है, इसलिए दीर्घकालिक औसत थर्मल अपेक्षित मानों में परिवर्तित होते हैं।
- मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स सामान्यीकरण
- हेस्टिंग्स ने विषम प्रस्ताव वितरणों के लिए स्वीकृति नियम को सामान्यीकृत किया, जिससे लक्ष्य स्थिर वितरण को बनाए रखते हुए एल्गोरिथम को सममित स्थानीय चालों से आगे बढ़ाया गया।
- ऑटोकोरिलेशन और त्रुटि अनुमान
- लगातार मेट्रोपोलिस नमूने सहसंबद्ध होते हैं, इसलिए स्वतंत्र नमूनों की प्रभावी संख्या ऑटोकोरिलेशन समय से कम हो जाती है, जिसे थर्मल औसत में ईमानदार त्रुटि बार असाइन करने के लिए मापा जाना चाहिए।
Clinical relevance
मेट्रोपोलिस नमूनाकरण जाली स्पिन मॉडल (lattice spin models), तरल पदार्थ और पॉलिमर की थर्मोडायनामिक मात्राओं की गणना करता है, चरण संक्रमणों का पता लगाता है, और मोंटे कार्लो आणविक सिमुलेशन और कई क्वांटम मोंटे कार्लो योजनाओं के भीतर मुख्य इंजन के रूप में कार्य करता है।
History
1953 में लॉस अलामोस में MANIAC कंप्यूटर पर एक द्वि-आयामी कठोर-डिस्क द्रव के समीकरण की स्थिति की गणना करने के लिए प्रस्तुत किया गया, इस एल्गोरिथम को 1970 में हेस्टिंग्स द्वारा सामान्यीकृत किया गया और यह सांख्यिकीय भौतिकी में और बाद में, बायेसियन सांख्यिकी में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली सिमुलेशन विधि बन गई।
Key figures
- Nicholas Metropolis
- Arianna Rosenbluth
- W. Keith Hastings
Related topics
Seminal works
- metropolis1953
- hastings1970
Frequently asked questions
- ऊर्जा कम करने वाली चालें हमेशा क्यों स्वीकार की जाती हैं?
- एक चाल जो ऊर्जा को कम करती है वह बोल्ट्ज़मैन भार को बढ़ाती है, इसलिए इसे स्वीकार करने से श्रृंखला हमेशा अधिक संभावित अवस्थाओं की ओर बढ़ती है; ऊपर की ओर की चालें केवल कभी-कभी स्वीकार की जाती हैं, ऊर्जा वृद्धि द्वारा निर्धारित संभाव्यता के साथ, जो श्रृंखला को केवल नीचे की ओर लुढ़कने के बजाय पूर्ण थर्मल वितरण का पता लगाने देती है।
- एक रन की शुरुआत में नमूनों को क्यों छोड़ना चाहिए?
- श्रृंखला एक मनमानी विन्यास से शुरू होती है जो अभी तक संतुलन वितरण का प्रतिनिधि नहीं है। प्रारंभिक संतुलन या बर्न-इन अवधि को छोड़ दिया जाता है ताकि मापा गया औसत प्रारंभिक पूर्वाग्रह के बजाय वास्तविक थर्मल समुच्चय को दर्शाए।