क्या होलोमॉर्फिक और विश्लेषणात्मक एक ही चीज़ हैं?

एक सम्मिश्र चर के फलनों के लिए वे समतुल्य हैं: एक खुले समुच्चय पर सम्मिश्र अवकलनीयता, जिसे होलोमॉर्फी कहा जाता है, ठीक वही शर्त है कि फलन स्थानीय रूप से एक अभिसारी घात श्रृंखला है, जिसे विश्लेषणात्मकता कहा जाता है।

एक होलोमॉर्फिक फलन किसी क्षेत्र के अंदर अपने आकार का स्थानीय अधिकतम क्यों नहीं रख सकता है?

अधिकतम मापांक सिद्धांत हार्मोनिक फलनों के माध्य मान गुण से आता है; मापांक केवल सीमा पर अपना सबसे बड़ा मान प्राप्त कर सकता है जब तक कि फलन स्थिर न हो।

होलोमॉर्फिक फलन

एक होलोमॉर्फिक फलन वह होता है जो एक खुले समुच्चय पर सम्मिश्र अवकलनीय (complex differentiable) होता है; यह एकल शर्त फलन को विश्लेषणात्मक (analytic), अनंततः अवकलनीय (infinitely differentiable) और एक अभिसारी घात श्रृंखला (convergent power series) द्वारा स्थानीय रूप से प्रतिनिधित्व योग्य होने के लिए बाध्य करती है।

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Definition

एक सम्मिश्र चर का एक फलन एक खुले समुच्चय पर होलोमॉर्फिक होता है यदि उस समुच्चय के प्रत्येक बिंदु पर इसका एक सम्मिश्र व्युत्पन्न (complex derivative) होता है; समतुल्य रूप से यह वहाँ विश्लेषणात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि यह स्थानीय रूप से एक अभिसारी घात श्रृंखला का योग है।

Scope

यह विषय सम्मिश्र अवकलनीयता और कॉची-रीमैन समीकरणों (Cauchy-Riemann equations), होलोमॉर्फी और विश्लेषणात्मकता की तुल्यता, घात-श्रृंखला प्रतिनिधित्व, हार्मोनिक फलनों से संबंध, पहचान और अधिकतम मापांक सिद्धांत (maximum modulus principles), संपूर्ण फलन (entire functions) और लिउविल के प्रमेय (Liouville's theorem), और शून्य तथा विलगित विलक्षणताओं (isolated singularities) के वर्गीकरण को शामिल करता है।

Core questions

सम्मिश्र व्युत्पन्न का अस्तित्व कॉची-रीमैन समीकरणों को क्यों थोपता है?
प्रत्येक होलोमॉर्फिक फलन स्वचालित रूप से विश्लेषणात्मक और अनंततः अवकलनीय क्यों होता है?
एक होलोमॉर्फिक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग हार्मोनिक होने के लिए कैसे विवश होते हैं?
एक होलोमॉर्फिक फलन में किस प्रकार की विलक्षणताएँ हो सकती हैं, और उन्हें कैसे वर्गीकृत किया जाता है?

Key theories

कॉची-रीमैन समीकरण: सम्मिश्र अवकलनीयता वास्तविक और काल्पनिक भागों के आंशिक अवकल समीकरणों के एक युग्मित जोड़े को संतुष्ट करने के समतुल्य है, जो प्रत्येक भाग को हार्मोनिक होने के लिए बाध्य करता है और सम्मिश्र विश्लेषण को विभव सिद्धांत (potential theory) से जोड़ता है।
अधिकतम मापांक और पहचान सिद्धांत: एक गैर-स्थिर होलोमॉर्फिक फलन अपने मापांक का कोई आंतरिक अधिकतम प्राप्त नहीं करता है, और एक सीमा बिंदु वाले समुच्चय पर सहमत होने वाले दो होलोमॉर्फिक फलन एक जुड़े हुए डोमेन पर हर जगह सहमत होते हैं, जो होलोमॉर्फिक फलनों की कठोरता को व्यक्त करता है।
लिउविल का प्रमेय: एक परिबद्ध संपूर्ण फलन स्थिर होता है, जो कॉची अनुमानों का एक परिणाम है जो बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक संक्षिप्त प्रमाण देता है।

Clinical relevance

चूंकि एक होलोमॉर्फिक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग हार्मोनिक होते हैं, होलोमॉर्फिक फलन द्वि-आयामी स्थिर-अवस्था (steady-state) घटनाओं जैसे इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमताएं और आदर्श द्रव प्रवाह का मॉडल बनाते हैं, और कठोरता गुण उन्हें संख्या सिद्धांत, विशेष-फलन सिद्धांत और रूपांतरणों के विश्लेषणात्मक निरंतरता में शक्तिशाली बनाते हैं।

History

कॉची-रीमैन समीकरणों की परिभाषित भूमिका को उन्नीसवीं सदी के मध्य में कॉची और रीमैन द्वारा पहचाना गया था, जबकि वेइरस्ट्रास ने समतुल्य घात-श्रृंखला दृष्टिकोण विकसित किया। उनके संयुक्त कार्य ने स्थापित किया कि सम्मिश्र अवकलनीयता और विश्लेषणात्मकता संपाती होती हैं।

Key figures

Augustin-Louis Cauchy
Bernhard Riemann
Karl Weierstrass

Seminal works

ahlfors1979
conway1978

Frequently asked questions

क्या होलोमॉर्फिक और विश्लेषणात्मक एक ही चीज़ हैं?: एक सम्मिश्र चर के फलनों के लिए वे समतुल्य हैं: एक खुले समुच्चय पर सम्मिश्र अवकलनीयता, जिसे होलोमॉर्फी कहा जाता है, ठीक वही शर्त है कि फलन स्थानीय रूप से एक अभिसारी घात श्रृंखला है, जिसे विश्लेषणात्मकता कहा जाता है।
एक होलोमॉर्फिक फलन किसी क्षेत्र के अंदर अपने आकार का स्थानीय अधिकतम क्यों नहीं रख सकता है?: अधिकतम मापांक सिद्धांत हार्मोनिक फलनों के माध्य मान गुण से आता है; मापांक केवल सीमा पर अपना सबसे बड़ा मान प्राप्त कर सकता है जब तक कि फलन स्थिर न हो।